Matematica Aplicacion De Derivadas

Universidad Nacional Experimental del Táchira Vicerrectorado Académico Departamento de Matemática y Física Asignatura: Matemática I (Código 0826101) Lapso Académico 2011-1

UNIDAD IV

Máximo

Mínimo

Mínimo

Material en revisión: Realizado por: Lorenzo A. Becerra Peñuela Angela E. Torres Ruiz

Índice
1.- Introducción 2.- Funciones Crecientes y decrecientes 3.- Criterio de la PrimeraDerivada 4.- Concavidad y Puntos de Inflexión 5.- Criterio de la Segunda Derivada 6.- La Derivada y las Razones de cambio Relacionadas 7.- Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio 8.- Optimización 9.- Regla de L´Hopital Página 2 Página 3 Página 4 Página 6 Página 7 Página 9 Página 15 Página 22 Página 32

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Introducción

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Funciones Crecientes y Decrecientes

B A C D

C

D

EValores Críticos: x3 , x5 y x6 Puntos Críticos: A, B y E Máximos Relativos: A y B Mínimo Relativo: E C: Función creciente D: Función decreciente

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Criterio de la Primera Derivada para determinar los Máximos y los Mínimos de una función:

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Concavidad y Puntos de Inflexión

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Criterio de la Segunda Derivada para determinar los Máximos y los Mínimos de una función:

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La Derivada y las Razones de cambio Relacionadas

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Problemas de Razones de cambio Relacionadas

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Problemas Propuestos de Tasa de Variación. Problema 1. Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 5 cm y su hipotenusa está aumentando a razón de 4 cm/min. Calcule la rapidez a la que está aumentando el otro cateto del triángulo cuando éste es de 7 cm.Rpta:

cm/min

Problema 2. El diámetro de un círculo está aumentando a razón de 4 cm/min. Determine la rapidez a la que está aumentando el área del círculo cuando su diámetro sea de 8 cm. Rpta: 16πcm2/min Problema 3. La diagonal de un cubo está aumentando a razón de 4 cm/min. Calcule la razón a la que está aumentando el volumen del cubo en el momento en que la diagonal es de 5 cm. Rpta: cm3/min14

Problema 4. Una escalera de 25 m de largo se apoya contra una pared vertical. Si la base de la escalera se empuja horizontalmente, alejándose de la pared a 3 m/seg. ¿Qué tan rápido resbala la parte superior de la escalera, cuando la base se encuentra a 15 m de la pared? Rpta: 2,25 m/seg Problema 5. Una persona que mide 1,8 m camina alejándose de un farol que se halla a una altura de 3,5 mdel piso, con una velocidad de 6 km/h. Determine la velocidad a la que está creciendo la sombra que el hombre proyecta sobre el piso. Rpta: 6,353 km/h Problema 6. Un globo asciende a 3 m/seg desde un punto del suelo a 30 m de un observador. Calcular el ritmo de cambio del ángulo de elevación del globo, cuando está a 30 m de altura. Rpta: rad/seg

Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio
En lafigura que se muestra a continuación se puede apreciar la gráfica de una función que es continua en el intervalo cerrado [a, b], en la que se cumple que , y además existe en todos los puntos del intervalo (a, b).

Intuitivamente, puede verse que existe por lo menos un punto P de la curva, de abscisa c entre a y b, en el cual la recta tangente a la curva es horizontal, es decir, paralela el ejex. Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado Teorema de Rolle que se enuncia a continuación.

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TEOREMA DE ROLLE Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades: i. f es continua en el intervalo cerrado [a, b]. ii. f es derivable en el intervalo abierto (a, b). iii.

Entonces, existe por lo menos un punto c en COROLARIO Si f es continua enun intervalo cerrado y menos un número crítico en el intervalo abierto Demostración.

tal que , entonces f tiene al .

Si f´no existe en algún número c de , entonces, por definición, c es un número crítico. Por otro lado, si f´ existe en todo , entonces, por el Teorema de Rolle, existe al menos un número c en algún punto crítico. Ejemplo 1. Sea Rolle en el intervalo . Demostrar que f...