Matematica Basica Ii

RECTAS Y PLANOS EN E IR3

Por conveniencia, primero estudiaremos planos.
EL PLANO EN IR3
Definición.- Un conjunto de puntos IP de IR3 es un plano, si existe un punto P0 ( x0 , y0 , z 0 ) € IR3 y dos vectores no paralelos:

v , w € V3 tales que P = { P0 + λ v + k w / λ , k € IR }

ECUACIONES DEL PLANO

I.- Ecuación Vectorial del Plano.-Sea P un plano determinado por uno de sus puntos
P0 (xq , y0 , z 0 ) y dos vectores no Colineales v = ( v1, v2 , v3 ) , w( w1 , w2 , w3 ) € V3 paralelos a IP .
Si P ( x , y , z) es un punto genérico, entonces se tiene que
P ( x ,y ,z ) IR3 P P0 = λ v + k w , para algunos λ , k € IR ( P - P0 = λ v + k w ,
Para algunos λ , k € IR
Tomandotodos los valores λ, K € R resulta la ecuación vectorial del plano:

IP : P = P0 + v + k w. Más aun P = { P0 + λ v + k w / λ , k € R }







IP


W pkw
λ v

v v







Figura 1
II.- Ecuaciones Paramétricas del plano.- Tenemos que P = P0+ v + K w , entoncesreemplazando por sus valores tenemos que
(x , y , z) = ( X0 + λ v 1 + k w 1 , Yo + λ v 2 + K w 2 , Z0 + λ v 3 + K w 3 ) =>
X = X0 + λ v 1 + k w 1
Y = Yo + λ v 2 + K w 2 ; que son las ecuaciones paramétricas del plano P
Z = Z0 + λ v 3 + K w 3
Observación.- Dado el plano IP = { P0 + λ v + k w / λ , k € R }
todo vector n ≠ 0 € V3 que sea perpendicular a ambos v , w € V3 , se denomina Vector Normal al plano IP .
Como v x w ┴ v y v x w ┴ w , entonces v x w es una normal al plano,entonces n = t ( v x w ) es una normal para t ≠ 0 .
Teorema.- Si n € V3 es una normal al plano
IP = { P0 + λ v + k w / λ , k IR } (2)
de (1) y (2) tenemos que IP = IP1. Launicidad queda como ejercicio.

Entonces IP = { P € IR 3 / n • ( P - P0 ) = O } y este es el único plano que pasa por
P0 ( x0 , y0 , z0 ) con normal n .
Demostración
Como n € V3 es normal al plano IP , entonces n • v = 0 y n • w = 0
Además n = t ( v x w ) para t ≠ 0 , sea:
IP1 = { P € IR3 / n . ( P - P0 ) = 0 }
Luego probaremos que IP = IP1 , entonces:
Si P € IP =>∃ λ, k € IR tales que
P = P0 + λ v + k w => P- P0 = λ v + k w =>
n . ( P – P0 ) = n ( λ v + k w ) = λ ( n . v ) + k ( n . w )= 0 => P € IP => IP C IP1 (1)
P € IP => n . ( P – P0 ) = 0 => t ( v . w ) . ( P – P0 ) = 0 =>
v , w y P - P0 son linealmente dependientes y como v , w son Linealmente independientes existen m , n €IR tales que:
P -P0 = m v + n w => P = P0 + m v + n w => P € IP =>IP C IP1
III.- Ecuación Vectorial- Normal del Plano.- La ecuación P : n .( P - P0 ) = 0 ,se llama Ecuación Vectorial-Normal del plano que pasa por P0 ( x0 , y0 , z0 ) y que tiene como normal el vector n .
Teorema.- Para todo n ≠ 0 € V3 y para todo P0 € IR3, n. (P-P0 )=0 es una ecuación vectorial- Normal de un plano quepasa P0 ( x0 , y0 ,z 0 ) con normal n .
IV.- Ecuación General del Plano.- Sea P el plano que pasa por po (x0 ,yo, zo ) con normal n = ( A ,B ,C ) ≠ 0, entonces IP : n .( P- P0 ) = 0 es una ecuación vectorial - normal del plano donde P ( x ,y ,z ) € IR3, entonces sustituyendo sus valores tenemos que
( A , B , C).(x – x0 , y - y0 , z - z0) = 0 =>
Ax + By + Cz + D = O
donde D =...