matematica basica

HIPERBOLAS

1.- Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos:  respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.

SOLUCIÓN

Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma:





(fig)
En este caso: a = 4; c = 5, de donde (fig)  En consecuencia, la ecuación de la hipérbola es:
Ahora,      
  
Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: ,    

2.- Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por:
, determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica.


SOLUCIÓN
La ecuación , puede escribirse en las formas equivalentes:


La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje y  
(fig)(Fig)




En este caso:
. Luego,
Con estos datos, se tiene:

Ademas de la ecuación , se deduce que las ecuaciones de las asíntotas son las rectas de ecuación:
e



3.-  Una hipérbola cuyo centro es el punto, tiene sus focos sobre la recta . Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine:coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas.


SOLUCIÓN
Como la distancia entre los vértices es 8, se sigue qué . Igualmente, como , se sigue que  y por lo tanto . Asi que  (fig)




(fig)


Ahora, puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuación de la hipérbola pedida tiene la forma: 

Las coordenadas de los focos son:  y . Esto es:y .
Igualmente, las coordenadas de los vértices son:  y . Esto es,  y . 
Además, de la ecuación: , se deduce que:
 ; y   son las ecuaciones de las asíntotas.  
4.-  Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: . Determine y grafique: centro, focos, vértices y     ecuaciones de las asíntotas.
SOLUCIÓN
La ecuación general, puede escribirse en las formas equivalentes:




Estaúltima ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto  y su eje focal es una recta paralela al eje y que pasa por . En esta caso,  (fig)


(fig)

Además, . Con lo cual:  . 
Las coordenadas de los focos son:  e . Esto es  y . Igualmente, las coordenadas de los vértices son:  e  . Esto es  y . 
Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: ,e , .

PARABOLA


1. Halle laecuación de la elipse que tiene su centro en y cuyos focos son los puntos 
y , además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto . 
SOLUCIÓN:
Como la elipse corta al eje x en el punto se sigue que y como (fig) se tiene que,  y por tanto . 


(Fig)
De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos . Además, su ecuación viene dada por : 
 

2. Trazar la elipse cuyaecuación viene dada por: 

Solución: 
La ecuación: ,puede escribirse en las formas equivalentes: 
(Porqué?)  
 
La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es  y eje menor es . Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y. 
De otro lado, , de donde  y en consecuencia, los focos se encuentran localizados en los puntos  y . 
Además, losvértices de la elipse son los puntos: . 
(fig). recoge toda la información obtenida. 


(Fig)




3. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación: 
  
 
SOLUCIÓN:
La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes: 



 (completando cuadrados)
 (factorización)
 
  (dividiendo por 4)
 Esta última ecuación corresponde a la elipsecuyo centro es el punto , semiejes;
 y . Como , el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación  x = 2 (fig)
Los vértices son los puntos . 
Como , se tiene que los focos están localizados en los puntos y . 


(Fig)



4.-







































PARABOLA


1. Usando  la  definición,  hallar la ecuación  de la parábola ...