MATEMATICA BASICA

UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

Capitulo I - Lógica Matemática
Todos los tópicos relativos a las matemáticas se razonan desde el punto de vista lógico y por lo tanto
hay que tener muy en cuenta el enunciado de las proposiciones matemáticas y su consecuente validez.
Nota: Validez significa que una proposición es verdadera o es falsa, pero nunca debe ocurrir que seaverdadero o falso a la vez.
Enunciado: Se llama enunciado a toda frase u oración. Algunos enunciados son mandatos o
interrogaciones o son expresiones de emoción. Otros en cambio son afirmaciones o negaciones que
tienen la característica de ser verdadera o falsa.
Ejemplos:
a) ¿Qué estudia en la Universidad?
b) Prohibido hacer bulla.
c) Dos más tres, es igual a cinco.
d) 5 > 8
e) x2 < 4y
Proposición:Llamamos proposición a todo enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero (V) o de
ser falso (F), pero nunca puede ser V y F a la vez.
Notación: Denotaremos a las proposiciones con letras minúsculas: p, q, r, s, t. Si son “muchas”
proposiciones entonces usaremos subíndices, tales como:
p1, p2, p3, ..., pn
q1, q2, q3, ..., qn
Ejemplos:
p : “dos más tres, es igual a cinco”
q : “cinco es diferente decero”
t = “cuatro y diez son múltiples de diez”
u = “2 es menor que 3 y 3 es múltiplo de 5”
Si una proposición p es verdadera se dice que su validez o valor de verdad es v, se escribe V(p) = V o se
lee “valor de verdad de p es igual a V”.
Si una proposición p es falsa se dice que su validez o valor de verdad es F1 se escribe V(p) = F y se lee
“valor de verdad de p es igual a F”.
Ejemplo:Proposición

Valor de Verdad

p : César Vallejo nació en París
q : 2 + 3 < 10 – 3

V(p) = F
V(q) = V

Enunciados Abiertos:
Son expresiones que no tienen la propiedad de ser verdadero o falso, es decir, no son proposiciones. Así,
el enunciado x + 2 > 5 no se le puede atribuir el valor (V) o el valor de (F), a menos que reemplacemos
la x por un número mayor que 3 en cuyo caso el enunciado se convierte enuna proposición verdadera, o
si el reemplazo se hace un número menor que 3, la proposición resulta falsa:
Ejemplo:
1) x + y + z = 6
2) x es múltiplo de 4

Proposiciones Simples y Compuestas:
Las proposiciones simples: Llamadas también proposiciones atómicas o elementales, son aquellos
enunciados que tienen un solo sujeto y un solo predicado.
Ejemplo:
1) Carlos Marx nació en Alemania.
2) La silla esde madera.
Las proposiciones compuestas: Llamadas también proposiciones moleculares o coligativas, son
aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones simplesEjemplo:
1) Carlos estudia Derecho o Contabilidad.
2) Si mañana el cielo está nublado, entonces lloverá.

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Propiedad Fundamental de las ProposicionesCompuestas:
La verdad de la proposición compuesta depende de la verdad de cada una de las proposiciones
componentes, sin que en esta dependencia de verdades tenga que ver la naturaleza, la significación o la estructura
de la propiedad, a las proposiciones compuestas se les llama también funciones veritativas.

Conectivos Lógicos:
Son expresiones que sirven para unir dos o más proposiciones, entre losmás importantes conectivos
lógicos tenemos:
La conjunción, disyunción, implicación, bicondicional, negación, contradicción, esto mostraremos en el
siguiente cuadro.
Nombre
Conjunción
Disyunción
Implicación
Bicondicional, equivalencia,
doble implicación

Expresión
Y
O
si ... entonces
... si y sólo si ...

Negación
Contradicción

no
... no equivalente

Símbolo Lógico

∧
∨
→
↔
≡
∼
≡

ProposicionesCompuestas Lógicas:
a)

Negación: Dada una proposición P, llamaremos la negación de p, a otra proposición que
denotaremos por ∼ p, y que se le asigna el valor opuesto a p, y su tabla de verdad es:
p

∼p

V
F

F
V

Ejemplo:
1. La tiza es blanca.
Su negación es: no es cierto que la tiza es blanca.
2. Dada la proposición p = 5 x 7 = 35
Su negación: no es cierto que 5 x 7 = 35
b)

La Disyunción...