matematica cuarto año

Unidad Nº 1
Intervalos Reales
Sea a < b

1) Intervalo cerrado: [ a ; b ] es el conjunto de números reales formado por a, b y todos los comprendidos entre ambos.
[ a ; b ] =

2) Intervalo abierto: ( a ; b ) es el conjunto de números reales comprendido entre a y b.
( a ; b ) =

3) Intervalo semiabierto a izquierda o semicerrado a derecha: ( a ; b ] es el conjunto de númerosreales formado por b y los comprendidos entre a y b.
( a ; b ] =

4) Ídem. Intervalo semiabierto a derecha o semicerrado a izquierda:
[ a ; b ) =

Ejercicios.
1º) Clasificar en V o F.

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)

2º) Expresar como intervalo el resultado de las siguientes operaciones y representar en la recta numérica.

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)Entorno:
Dado un punto cualquiera a de la recta real y un número positivo r; se llama entorno de a y radio r al intervalo abierto .





Entorno reducido:
Dado un punto cualquiera a de la recta real y un número positivo r, se llama entorno reducido de centro a y radio r al conjunto de los puntos del intervalo abierto: del cual se ha excluido el punto a.





Ejercicios:
1º) Escribircomo intervalos y, si es posible; como entornos.







2º) Representar en la recta real los siguientes entornos.
a)
b)
c)

d)
e)
f)
Funciones

Se llama función a toda relación entre los elementos de dos conjuntos A y B, de modo que todo elemento “x” perteneciente al conjunto A le corresponda un elemento y solo uno en el conjunto B, denominado imagen de “x” a través de lafunción f.
La imagen de “x” a través de la función f es “y”. Se denota en la expresión
es función de A en B
Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:
Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen, es decir el dominio de la función debe ser .
En símbolos:


La imagen de cada elemento debe ser única. Esdecir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.
En símbolos:


El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.
En símbolos:


Clasificación de funciones

1) Una función es inyectiva si y sólo si a elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas en el conjuntoB.



2) Una función es sobrejectiva si y sólo si a todo elemento del codominio le corresponde una preimagen en el dominio.



3) Una función es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva.
Una función biyectiva admite función inversa.

Función inversa

Si es biyectiva se puede obtener.


Procedimiento para obtener la fórmula de

Admite inversa por ser biyectivaDespejamos x:
Realizamos el cambio de variable


Observación
Si graficamos y en el mismo sistema ambas funciones son simétricas con respecto a la función identidad .

Ejercicio

Hallar las funciones inversas:

a) e)
b) f)
c) g)
d)

Funciones pares e impares

1) Una función es par si es simétrica respecto al eje decoordenadas (y).



es par si y solo si

2) Una función es impar si es simétrica respecto al origen de coordenadas.



es impar si y solo si

3) Si una función no es par ni impar, se dice que dicha función no tiene paridad.

Función creciente y decreciente

1) Una función es creciente, en un cierto intervalo de su dominio, cuando al aumentar los valores que adopta la variable,también aumentan los valores de sus imágenes.

es creciente

2) Una función es decreciente, en un cierto intervalo de su dominio, cuando al aumentar los valores que adopta la variable, disminuyen los valores de sus imágenes.

es decreciente

- Una función puede ser totalmente creciente.
- Una función puede ser totalmente decreciente.
- Una función puede ser creciente o decreciente...