Matematica Discreta

´ ANALISIS FUNCIONAL Una introducci´n elemental o

M.A. Rodr´ ıguez Departamento de F´ ısica Te´rica II o Universidad Complutense de Madrid 16 de noviembre de 2007

´ Indice general
1. La integral de Lebesgue 1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2. Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Medidas en intervalos . . . . . . . . . 1.2.2. Medidas enanillos . . . . . . . . . . . 1.2.3. Medidas exteriores . . . . . . . . . . . 1.2.4. Medidas interiores . . . . . . . . . . . 1.2.5. La medida de Lebesgue . . . . . . . . 1.2.6. Propiedades de la medida de Lebesgue 1.3. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Integraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.4.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . 1.4.2. La integral de Lebesgue .. . . . . . . 1.4.3. La integral de Riemann . . . . . . . . 1.4.4. Integrales impropias . . . . . . . . . . 1.5. Productos de medidas . . . . . . . . . . . . . 2. Topolog´ distancia y norma ıa, 2.1. Introducci´n . . . . . . . . . o 2.2. Espacios topol´gicos . . . . o 2.3. Espacio m´tricos . . . . . . e 2.4. Espacios normados . . . . . 1 1 3 3 6 9 12 13 13 16 18 18 19 23 25 30 33 33 33 39 42

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3. Espacios de Banach 51 3.1. Espacios normados de dimensi´n finita . . . . . . . . . . . . . . . 51 o 3.2. Espacios de sucesiones lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3. Espacios Lp . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4. Espacios de Hilbert 4.1. Introducci´n . . . . . . . . o 4.2. Definiciones y propiedades 4.3. Ortogonalidad . . . . . . . 4.4. Polinomios ortogonales . . 4.5. Series de Fourier . . . . . 65 65 65 68 76 77

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ii 5. Operadores en espacios de Hilbert 5.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.2. Operadores acotados . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Funcionales lineales continuos . . . . . . . . . . 5.4. Funcionales bilineales herm´ıticos . . . . . . . . 5.5. Operadores autoadjuntos y unitarios . . . . . . 5.6. Operadores positivos . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Operadores de clase de traza y Hilbert-Schmidt 5.9. Ecuaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . 6. Espectros de operadores 6.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.2. El espectro puntual yel espectro continuo . 6.3. El resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. El espectro de un operador y de su adjunto 6.5. Espectro de operadores acotados normales . 6.6. Espectro de operadores compactos . . . . . 6.7. Ecuaciones integrales . . . . . . . . . . . . . 7. Distribuciones 7.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 7.2. Los espacios de funciones prueba . . . . . .7.3. Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Ejemplos de distribuciones en D . . . . . . 7.5. Propiedades elementales de distribuciones . 7.6. Soluciones fundamentales . . . . . . . . . . 7.7. Convoluci´n de funciones y distribuciones . o 7.8. Distribuciones temperadas (S ) . . . . . . . 7.9. Operaciones con distribuciones temperadas 7.10. Transformada de Fourier y convoluci´n . . ....