Matematica Entretenida

Tratamiento de cifras significativas, incertezas y errores
1. Introducci´n o En estos apuntes se entregan algunos conceptos b´sicos acerca del tratamiento y manejo de a datos (medidas) experimentales. Aunque parece obvio, antes de realizar una medici´n se debe elegir el instrumento adecuado, o cuidando que su rango y sensibilidad est´n de acuerdo con lo que se va a medir. e Rango: Se entiendepor rango de un instrumento al intervalo de valores en que es posible medir con ´l. El utilizar un instrumento cuyo rango no sea el adecuado a lo que se pretende e medir, puede producirle serios da˜os tanto a Ud. como al instrumento. n Sensibilidad: Es la menor divisi´n de la escala del instrumento. Por ejemplo una regla o com´n posee una sensibilidad del orden del mil´ u ımetro, ya que es la menormagnitud medible con ella. 2. Cifras significativas El n´mero de cifras significativas es el n´mero de cifras de las que se est´ razonablemente u u a seguro considerando el instrumento usado para hacer la medida y las condiciones en que ´sta se hizo. La precisi´n de una medida est´ directamente relacionada con el n´mero e o a u de cifras con que se escribe el resultado de la medici´n. A modo deejemplo, o 28,06 273,0 0,00053 4,12 3 4 4 2 3 1 cifras significativas cifras significativas cifras significativas cifras significativas cifra significativa

Otro caso que se debe considerar es el trabajo con diferentes unidades de medici´n. Veamos o una medida de longitud expresada en tres formas posibles, 3,000 m 3,00 m 3 m 4 cifras significativas 3 cifras significativas 1 cifra significativa

Aunquelos tres n´meros se˜alan la misma longitud, no todos contienen igual informaci´n. u n o En el primer caso se est´ asegurando hasta los mil´ a ımetros, mientras que en el ultimo s´lo se ´ o aseguran los metros. Es como si la primera medici´n se hubiese hecho con una regla graduada en o mil´ ımetros, por lo tanto su “incerteza” estar´ en una estimaci´n de la divisi´n m´s peque˜a (que a o o a n eneste caso es el mil´ ımetro), y la ultima se hubiese hecho con una regla graduada en metros, ´ y por ello su “incerteza” est´ en una estimaci´n de la divisi´n menor, que corresponder´ a a o o ıa metros. El n´mero de cifras significativas son los d´ u ıgitos necesarios para representar la precisi´n de o la medida, al expresarla en forma de valor num´rico. No se consideran los ceros a la izquierda edel primer d´ ıgito real.

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3. Operaciones con cifras significativas y redondeo Las operaciones de suma, resta, multiplicaci´n y divisi´n de cantidades con diferente precisi´n o o o (o diferente n´mero de cifras significativas) se realizan de acuerdo a las siguientes reglas: u I.- En sumas y restas el grado de precisi´n del resultado ser´ igual al grado de precisi´n del o a o t´rmino demenor precisi´n. e o ejemplo: 3,32 4,213 + 5,034 12, 567

Uno de los sumandos posee s´lo dos cifras significativas despu´s de la coma, y por ende el o e resultado debe ser entregado con dos cifras significativas despu´s de la coma. Entonces ¿c´mo e o considerar la ultima cifra (el 7)? ´ Se est´ frente al problema del “redondeo”, es decir, de despreciar algunas cifras y quedarse a con las querealmente den cuenta de la medici´n que se est´ haciendo. Si se desea redondear o a a “n” cifras entonces se deben desechar todas las que se encuentren a la derecha del en´simo e lugar, para ello es conveniente adoptar ciertos criterios de aproximaci´n: o a) Si la cifra que ocupa el lugar (n+1) es menor que 5, entonces la que ocupa el lugar n permanece inalterada. b) Si la cifra que ocupa el lugar (n+1)es mayor que 5, se le agrega una unidad a la del lugar n. c) Si la cifra del lugar (n+1) es igual a 5, entonces se le agrega una unidad a la del lugar n si es que es impar. Pero, si la del lugar n es par (o cero) entonces ella permanece inalterada. A modo de ejemplo veamos como redondear el n´mero π = 3, 141592654 u 3 cifras significativas: π = 3, 14 4 cifras significativas: π = 3, 142 5 cifras...