Matematica Financiera

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

IX CICLO - 2012

CLASE Nº 05
Docente: ING. M. HAMILTON WILSON HUAMANCHUMO Email: mhamwil@gmail.com Blog: htpp:/inghamiltonwilson.blogspot.com
E - m a i l : m ha m w i l @ pe r u. c om Teléf.. (51) (056) - 225924 1

LAS SERIES DE GRADIENTE Y EL PRESENTE
Las series de gradiente se basan en la suposición teórica de que una cifra, como el costo de mantenimiento de unautomóvil, aumentará cada año en una cantidad exactamente igual al periodo anterior, y que esto se mantendrá durante cierto número de periodos. Se dice que la situación es teórica pues en la práctica es imposible que se puedan prever aumentos o disminuciones graduales por exactamente la misma cantidad. Sin embargo, se han desarrollado fórmulas especiales para resolver este tipo de problemas. A lacantidad igual en la cual se incrementa un flujo de efectivo se le llama gradiente y se le representa con la letra G.

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CASO 9.
Una persona adquirió un auto; espera que el costo de mantenimiento sea de S/. 150 al finalizar el primer año y que en los subsecuentes aumente a razón de S/. 50 anuales. Si la tasa de interés es de 8% capitalizada cada año, ¿Cuál es elvalor presente de esta serie de pagos durante un periodo de 6 años? SOLUCION. Los datos del problema son: P = ?; i = 8 %; n = 6; primer pago = 150; G = 50. El diagrama de flujo del problema es el de la gráfica.
400 350 300 250 200 150
0 1 2 3 4 5 6

P=?

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Utilizando la fórmula básica se tiene:

P=

150 200 250 300 350 400 + + + + + (1 + 0.08)1 (1 + 0.08)2 (1 +0.08)3 (1 + 0.08)4 (1 + 0.08)5 (1 + 0.08)6

150 200 250 300 350 400 P= + + + + + = 1219.60 1.08 1.1664 1.2597 1.3605 1.4693 1.5869

En este tipo de problemas se pueden observar ciertas particularidades. Por ejemplo, la gráfica se puede dividir en dos, como se muestra en la siguiente gráfica;
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250 200 150 100 50 0
0

150
0 1

150

150

150

150

150

2

3

4

56

+
P"

1

2

3

4

5

6

=

P'

400 350 300 250 200 150
0 1 2 3 4 5 6

P=?
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Al incremento constante se le denota por G, esta gráfica, en forma generalizada y con literales, es la siguiente grafica;
A+(n-1)G (n-1)G 2G A 0 1 2 n-1 n + A A A 0 0 1 2 3 n = G 0 1 2 3 n A A+G A+2G

P'

P"

P

Cuando se trabaja con Series Gradiente siempre se tiene: 1. Un número deA igual a n. 2. Un número de G en el mismo diagrama de (n-1) ya que en el periodo 1 todavía no existe el incremento debido a G. 3. Se pueden obtener dos presentes, P' y P ", cuya suma es la P del diagrama original. Para, calcular el presente P = P'+ P ", se pueden calcular P' y P " como:
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Para calcular el presente P = P'+ P ", se pueden calcular P' y P " como: (1 + i )n − 1  P ´ = A  n  i (1 + i ) 
n   G  (1 + i ) − 1 1 " − n  P =  n  i  i   (1 + i ) 

La fórmula para calcular P'; y la fórmula para calcular P" sí es nueva, y no se presenta su deducción por las razones ya expuestas con anterioridad. En este caso, aparentemente haber dividido el problema en dos partes parece más complicado que la solución ofrecida. Sin embargo, si elnúmero de n es elevado, puede ser más cómodo utilizar las fórmulas para resolver este tipo de problemas.
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CASO 10.
Resuélvase el caso anterior mediante el empleo de las fórmulas de Gradiente. SOLUCION. Los datos del problema son: A = 150; G = 50; i = 8 %; n = 6. Sustituyendo en las fórmulas se tiene:

 (1 + 0.08)6 − 1  50  (1 + 0.08)6 − 1    1 + − 6  =1219.60 P = 150   6  6  0.08   (1 + 0.08)   0.08(1 + 0.08)  0.08 

El uso de las fórmulas de series gradiente también es adecuado cuando éste es decreciente.

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CASO 11.
Una comercializadora vende computadoras personales bajo las siguientes condiciones: Se hace un primer pago de S/. 900 un mes después de la fecha de adquisición y nueve pagos mensuales...