Matematica Guia
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Indeterminación de la forma 1 ∞
Teorema:
Si [pic] y [pic]
Entonces
f(x) g(x) = [pic]
Ejemplo:
[pic]
[pic]
• Ejercicios de Limites
Dados los siguientes limites comprobar tipo de indeterminación y resolver según sea el caso:1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]
11. [pic]
12. [pic]
13. [pic]
14. [pic]
15. [pic]
16. [pic]
17. [pic]
18. [pic]
19. [pic]
20. [pic]
21. [pic]
22. [pic]
23. [pic]
24. [pic]
• Determine el Límite de las siguientes funciones:a. [pic] b.[pic]
c. [pic] d. [pic]
e.[pic] f. [pic]
g. [pic] h.[pic]
i. [pic] j. [pic]k. [pic] l.[pic]
m. [pic] n. [pic]
o. [pic] p. [pic]
q.[pic] r. [pic]
s.[pic] t. [pic]
u. [pic]v.[pic]
Función continua en un punto y en un intervalo.
Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si:
a. Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a.
b. Existe el [pic].
c. Ambos valores coinciden, es decir [pic].
Si tenemos en cuenta la definición de límite, podemos obtener la siguiente definición equivalente: [pic]Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a,b).
Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si [pic].
Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si [pic].
Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si:
a. y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b).
b. y = f(x) es continua por laderecha en x=a.
c. y = f(x) es continua por la izquierda en x=b.
TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a existe el [pic]. (La demostración es inmediata)
Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general. Como ejemplo comprobarlo para:
[pic]
TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO
Sea y=f(x) una función continua en x=a siendo f(a) distinto de 0 [pic]existe un entorno de x=a en el que losvalores de f(x) tienen el mismo signo que f(a).
Demostración:
Supongamos que f(a)>0 (si fuese negativo, se razonaría de modo similar).
Tomemos [pic]. Por la continuidad de y=f(x) en x=a se tiene que:
[pic]
Es decir:
[pic]
Por lo tanto: f(x)>0. (Como se quería demostrar)
TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN
Si y = f(x) es continua en x = a [pic]y = f(x) está acotada en un cierto entorno de x =a.
Demostración:
Tomemos [pic]. Por la continuidad de y = f(x) en x = a se tiene que:
[pic]
de modo que [pic]es un intervalo acotado, por lo tanto y=f(x) está acotada en el entorno [pic]de x=a.
Operaciones con funciones continuas.
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que:
a. [pic]es continua en x=a.
b. [pic]es continua en x=a.
c. [pic]escontinua en x=a si [pic].
d. [pic]es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).
TEOREMA: Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en y=f(a) [pic][pic]es continua en x=a.
Demostración:
[pic]
[pic]
[pic]
De lo dicho anteriormente resulta que:
[pic]
Discontinuidades.
Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho...
Regístrate para leer el documento completo.