matematica ii

Titulo: SISTEMAS DE ECUACIONES
Año escolar: 3er. año de bachillerato
Autor: José Luis Albornoz Salazar
Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario
País de residencia: Venezuela
Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com

El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboración en el
sentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendación a la
siguiente dirección :martilloatomico@gmail.com
Igualmente puede enviar cualquier ejercicio o problema que
considere pueda ser incluido en el mismo.
Si en sus horas de estudio o práctica se encuentra con un
problema que no pueda resolver, envíelo a la anterior dirección y
se le enviará resuelto a la suya.

APUNTES DE ÁLGEBRA

Ing. José Luis Albornoz Salazar - 76 -

◄SISTEMAS DE ECUACIONES :
ECUACIONES SIMULTANEAS : Dos omás ecuaciones con dos o
más incógnitas son simultaneas cuando se satisfacen para iguales
valores de las incógnitas.
Así, las ecuaciones
Son simultaneas porque
ecuaciones.

otra.

X+Y =5
X–Y =1
X=3

y

Y=2

satisfacen ambas

ECUACIONES EQUIVALENTES son las que se obtienen una de la
Así,

X+Y=4
2X + 2Y = 8

Así,

2X + 3Y = 13
4X – Y = 5

Es un sistema de dosecuaciones de primer grado con dos
incógnitas.
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES es un grupo de
valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema.
La solución del sistema anterior es X = 2 , Y = 3.
Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene
solución y es imposible o incompatible cuando no tiene solución.
Un sistema compatible es determinado cuando tieneuna sola
solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.

Son equivalentes porque dividiendo por 2 la segunda ecuación se
obtiene la primera o multiplicando por 2 la primera se obtiene la segunda.
Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes.
ECUACIONES INDEPENDIENTES son las que no se obtienen una
de las otras.
Cuando las ecuaciones independientes tienen unasola solución
común son simultaneas.
ECUACIONES INCOMPATIBLES son ecuaciones independientes
que no tienen solución común.
Así,

SISTEMA DE ECUACIONES es la reunión de dos o más
ecuaciones con dos o más incógnitas.

Para la RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES se utilizan cuatro métodos algebraicos:
1. Método de igualación.
2. Método de sustitución.
3. Método de reducción (suma yresta)
4. Por determinantes.

MÉTODO DE IGUALACIÓN :
Ejemplo 1 : Resolver el sistema 7X + 4Y = 13 (1)
5X – 2Y = 19 (2)

2X + 3Y = 10
2X + 4Y = 5

Son incompatibles porque no hay ningún par de valores de “X” y
“Y” que verifique ambas ecuaciones.
APUNTES DE ÁLGEBRA

Despejamos una cualquiera de las incógnitas; por ejemplo “X”, en
ambas ecuaciones
Ing. José Luis Albornoz Salazar - 77 -Y ya tenemos una sola ecuación con una incógnita; hemos
eliminado la X.
Resolviendo esta ecuación (recordar Resolución de Ecuaciones
Fraccionarias pág. 46) :
5(13 – 4Y) = 7(19 + 2Y)
65 – 20Y = 133 + 14Y
– 20Y – 14Y = 133 – 65
– 34Y = 68
Y=–2
Sustituyendo este valor de “Y” en cualquiera de las dos ecuaciones
dadas, por ejemplo en (1) (generalmente se sustituye en la más sencilla),
setiene :
7X + 4(– 2) = 13
7X – 8 = 13
7X = 21
X = 3
El resultado es : X = 3

y

Ejemplo 3 : Resolver el sistema

3X – 2Y = – 2
5X + 8Y = – 60

Ejemplo 4 : Resolver el sistema

3X + 5Y = 7
2X – Y = – 4

Y=–2

VERIFICACIÓN : Sustituyendo estos dos valores en las dos
ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad.

Ejemplo 2 : Resolver el sistema

X + 6Y = 27
7X – 3Y = 9APUNTES DE ÁLGEBRA

Ing. José Luis Albornoz Salazar - 78 -

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN :

Ejemplo 1 : Resolver el sistema

X+Y = 5
X–Y = 1

(1)
(2)

Despejamos una cualquiera de las incógnitas; por ejemplo “X”, en
alguna de las dos ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación (2).
Ejemplo 3 : Resolver el sistema

Tendremos :

5X + 7Y = – 1
– 3X + 4Y = – 24

Ejemplo 4 :...