MATEMATICA III - [TALO]

MATEMATICA III▐ RESUMEN
TEMA I▐ REVICION APLICACIONES DE LA DERIVADA
* NOTA:
1°) El enunciado siempre corresponderá a las hipótesis y a la tesis de los teoremas sin tener en cuenta sus
demostraciones.
2°) Las hipótesis pueden corresponder a las condiciones para el uso de teremas.
► Aproximaciones (3):
A) Aproximación por diferenciales:
■ Formula:
B) Aproximación por Taylor:
■ Hipótesis(3): Si f una función tal que:
■ Tesis: Entonces
C) Aproximación por MC Laurin:
■ Hipótesis (3): Si f una función tal que:

■ Tesis: Entonces
► Teoremas de valor medio para derivadas (TVM P/D):
A) TVM P/D Según Lagrange:
■ Hipótesis (3): Si f una función tale que:

■ Tesis:
B) TVM P/D Según Cauchy:
■ Hipótesis (3): Si f y g son dos funciones tales que:

■ Tesis:

■ Demostración(4):
1°) Considerando:
- Continuas en [a; b] y derivables en (a; b).
2°) Además valuando h(x) en (a) y (b) teneos que:
•
•
3°) Observaciones: h verifica las hipótesis del “Teorema de Rolle” por lo que:

la cual es:

4°) Derivando h(x): Tenemos:
y como h'(c)=0, entonces:

► La regla de L'Hopital:
■ Hipótesis (3): Si f y g son dos funciones tales que:

■ Tesis:

■ Demostración (3):1°) Por TVM de Cauchy (con b=x) podemos decir que:

3°) Por transitividad:

TEMA II▐ DERIVADA INVERSA, METODOS
► Indefinidas:
■ Definición:

■ Aclaración:

► Método de partes:
■ Formula:
■ Demostración (5):
1°) Sea;
2°) La derivada de su producto es:
3°) Utilizando la sustitución “i” y “ii” y por el mínimo común denominador queda:
4°) Conmutando e integrando:

5°) Reubicando:
►Integrales trigonométricas:
■ CASO I: Senos y cosenos elevados a una potencia impar:
• Modelo: con n=Impar.
n

n

d

os

n

d

• Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonométricas:
n
- os
O os
- n
• Solución:
- Descomponer de tal forma que quede
n
o os
” lu go utilizar la id ntidad sug rida.
- Resolver el binomio (Si es que lo hay) y luego hacer unadistribución del sen(x) o cos(x) respectivamente.
- Resolver las integrales progresivas por tabla y método de sustitución.
■ CASO II: Senos y cosenos elevados a una potencia par:
• Modelo: Con m=Par.
n

d

os

d

• Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonométricas:
os
n
os

os

• Solución:
- Descomponer de tal forma que quede
n
o os
” luego utilizar la identidadsugerida.
- Distribuir el exponente (Si es que lo hay) y luego el denominador.
- Resolver las integrales progresivas por tablas y método de sustitución, esta vez compensando lo agregado debido a la
situación d ángulos dobl s “ ”.

■ CASO III: Producto de senos-cosenos elevados a potencias pares e impares.
• Modelo: Con n y m=Par o impar.
n

n

os

d

• Solución:
- Descomponer la potncia i par co o n l “ aso I”, lu go distribuir s nos y cos nos r sp ctiva
- Si ambas son impares, descomponer la menor.
- Resolver las integrales progresivas por tablas y método de sustitución.
■ CASO IV: Producto de senos-cosenos elevados a potencias pares.
• Modelo: Con m=Par.
n

os

nt .

d

• Solución:
- Descomponer la potencia par co o n l “ aso II”, lu go distribuir s nos y cosnos r sp ctiva
- Si ambas son pares e iguales, asociar potencias y utilizar la siguiente identidad:
n
n
n
os
n
os

nt .

■ CASO V: Producto de senos-cosenos de ángulos mayores.
• Modelo: Con m y n ϵ R.
n n

os

d

• Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonométricas:
n n

os

n n

n n

n
n
os
os
■ CASO VI: Tangentes y Cotangentes elevados a una potenciapar o impar:
• Modelo: con n=Par o Impar.
angn

otgn

d

d

• Sugerencias: Utilizar las siguientes identidades trigonométricas:
g
c
otg
os c
• Solución: Descomponer de la forma:
gn
gn
g
n

gn
g
c
n
n
otg
otg
otg
n
otgn
otg
os c
■ CASO VII: Secantes y Cosecantes elevadas a una potencia Par:
• Modelo: con m=Par.
c

d

os c

d

• Sugerencias: Utilizar las...