Matematica industrial

Números complejos.

NÚMEROS REALES.

El cuerpo de los números reales se compone de los correspondientes a los números racionales e irracionales. El conjunto de los números reales se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de los puntos de una recta que se llama eje real; es decir, cada punto de la recta representa un único número real y cualquier número real se presenta porun único punto de la recta, como muestra la figura 4-1.
La suma, resta, multiplicación y división de los números reales es otro número real presidir la raíz cuadrada de un número real positivo es también otro número real; pero sin negativo, su raíz cuadrada no es un número real gobierno corresponde a ningún punto de la recta citada.

Figura 4-1

NÚMEROS IMAGINARIOS.

La raíz cuadrada de unnúmero real negativo es un número imaginario; por ejemplo, son números imaginarios √-1, √-2, √-5, √-16. Etc.
Si hacemos J = √- 1, que se llama unidad imaginaria, se puede escribir:
√-2 = J√2, √-4 = J2, √-5 = J√5; √-16 = J4, etc. Las sucesivas potencias de la unidad imaginaria son:

J2 = -1, j3 = j2 * j = (-1) j = -j, j4 = (j2)2 = 1, j5 = j, …

El conjunto de losnúmeros imaginarios se puede poner en correspondencia biunívoca con el conjunto de los números de otra recta que se llama eje imaginario, como se muestran la figura 4-2.

Figura 4-2

La elección de la palabra imaginario es muy desafortunada, pues estos números tienen tanta existencia física como lo reales. El vocablo significa, exclusivamente, que los números imaginarios no se puedenrepresentar por un punto en el eje de los números reales.

NÚMEROS COMPLEJOS.
Un número complejo Z. es de forma x + jy, en donde X e y son números reales y j =√-1. En un número complejo X. +jy la primera componente, X se llama parte real y la segunda, jy, parte imaginaria. Si la parte real es nula, X. = 0, el número complejo se deduce a un número imaginario (puro) y se representa por un punto sobre eleje imaginario. Amargamente, si la que es nula de la parte imaginaria, y = 0, el número complejo cerdo se ha un número real y se representa por un punto del eje real. Por consiguiente, el conjunto de los números reales tiene como su conjunto ante los números reales y el de los imaginarios.

La condición necesaria y suficientes para que dos números complejos, a+jb y c + jd, sean iguales es que a= c y b = d.

Si se traza en ella real perpendicular al eje imaginario, como se representa la figura 4 vientres, siendo 0 el punto de intercesión llamado origen, el conjunto de los números complejos se puede poner en correspondencia y unívoca con el conjunto de puntos del plano complejo así formado. En dicha figura 4-3, se han situado los seis números complejos (Z1...... Z6) que aparecen a suizquierda.

Figura 4-3

Distintas formas de expresar un número complejo
En la figura 4-4, X = r cosθ, y = r sen θ, con lo que el número complejo Z es:

Z= x + jy = r (cos θ + j sen θ).

Figura 4-4

En donde la expresión r = √ x2 +y2 se llama módulo de Z. y el ángulo θ = arctg y/ recibe el nombre de argumentos de Z.
la fórmula de Euler, e10 es = (cos θ +j sen θ ), permiten expresaren otra forma, que se llama exponencial, un número complejo (véase problema 4-1).

z= rcos θ + jr senθ = re10
En teoría de circuitos es muy frecuente emplear la fórmula polar o de Steinmetz de un número complejo z y se suele escribir así:

z= r / θ

En donde θ se mide en grados o en radianes.
A continuación se resume las cuatro formas de representar un número complejo; el empleo deuna u otra depende, fundamentalmente, de la operación que se trate de efectuar.

Fórmula binómica Z= x + jy.

Forma polar o de Steinmetz z = r / θ

Forma exponencial z = re10

Forma geométrica z = r (cos θ + j sen θ).

CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO.

El conjugado del número complejo z = x + jy es el complejo...