Matematica IV Ecuacion Ddiferencial Homogenea y Bernoulli

Ecuación diferencial ordinaria homogénea.
Es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que se presenta de la siguiente forma:
P(x, y) dx +Q(x, y) dy = 0
Será una ecuación diferencial con coeficientes homogéneos si:
Q(x, y) y P(x, y) son homogéneas de grado n
Teorema: Si los coeficientesP(x, y) y Q(x, y) de una ecuación diferencial son homogéneos de orden n, entonces la siguiente sustitución: y = vx, convertirá la ecuación diferencial en una ecuación diferencial donde las variablesson separables.
Demostración:

Donde



Dónde: = =


Derivamos con respecto a la variable xSustituimos el resultado de la derivada en la ecuación:

Al tener dos términos semejantes de igual signo a ambos lado de la igualdad, automáticamente se cancelan.

Agrupamos los términos con sus diferencialese integramos:


Devolvemos el cambio de v:
Sol Gral.
Ejercicios:
A)





Sustituimos y= vx en la ecuación:





Multiplicamos por para eliminar



Despejamos y obtenemos nuestrasolución general



B)



Sacamos factor común:




Se emplea propiedad de los logaritmos: y multiplicamos los exponentes a ambos la dos de la igualdad para eliminarSolución General

ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI
Definición: es una ecuación diferencial de la forma

Donde y
Al hacer las sustituciones


Se llega a

Selleva a la Ecuación Diferencial de Bernoulli a una Ecuación Diferencial lineal en la nueva variable ” z” , la cual deberá resolverse por el método de las Ecuaciones Diferenciales lineales.

Ejemplo:Resolver
Primero escribimos la ecuación diferencial en la forma estándar:


Dividiendo luego, entre

Haciendo el cambio de variable

Se obtiene al sustituir

Ahora es una ecuación diferencial en...