Matematica IV

Universidad de las Ciencias Informáticas
Facultad Regional Ciego de Ávila








Introducción

El presente documento hace referencia a la resolución de un problema matemático utilizando el método de la secante, en análisis numérico el método de la secante es un método que nos permite evaluar las raíces de funciones cuya derivada es difícil de calcular. Endichos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia finita dividida hacia atrás. Y se obtiene de este modo la siguiente fórmula iterativa. Se resolverá el algoritmo y se utilizará el programa Qt Octave para la resolución de dicho método.
La historia del descubrimiento de la solución algebraica de la cúbica enfrentó a dos grandes rivales italianos: Cardano y Tartaglia hacia 1540,y Ferrari, alumno y secretario de Cardano resolvió en 1545 la ecuación de cuarto grado. Posteriormente fueron muchos los matemáticos eminentes que trataron de resolver las ecuaciones de grado superior a cuatro, aunque en vano puesto que el matemático noruego Abel en 1893 probó que es imposible resolver por radicales la ecuación general de grado mayor que cuatro. En consecuencia, para calcular lasraíces de polinomios de grado mayor que cuatro es imprescindible usar técnicas numéricas.







Desarrollo
En que consiste el Método de la Secante:
El método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa. El mismo es una variación del método de Newton-Raphson, además es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces delas líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último.
El método:
El método se define por la relación de recurrencia:

o también:

Como se puede ver, este método necesitará dosaproximaciones iniciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial.
Derivación del método:
El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xn−1, f(xn−1)) y (xn, f(xn)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función. En la imagen de arriba a la derecha se toman los puntos iniciales x0 y x1, se construye una línea por los puntos (x0, f(x0)) y(x1, f(x1)). En forma punto-pendiente, esta línea tiene la ecuación mostrada anteriormente. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia, xn+1, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la fórmula, y un nuevo valor. Seguimos este proceso, hasta llegar a un nivel suficientemente alto de precisión (una diferencia lo suficientemente pequeñasentre xn y xn-1).


Convergencia:
El orden de convergencia de este método, en un punto cercano a la solución, es donde

Es el número áureo, por lo que se trata de una convergencia superlineal inferior a la del método de Newton-Raphson . En caso de que la aproximación inicial sea demasiado lejana o la raíz no sea simple, este método no asegura la convergencia y tiene un comportamientosimilar al de Newton-Raphson.
Comparación con otros métodos de búsqueda de raíces:
El método de bisección necesita de muchas iteraciones comparado con el método de la secante, ya que el proceso que éste sigue es mucho más preciso que el de bisección, el cual solo divide por mitades sucesivamente hasta dar con un valor aproximado al real y por consecuente conlleva un número significativamente mayor deiteraciones.
La fórmula de recurrencia del método de la secante se puede derivar de la fórmula para el método de Newton-Raphson:

Utilizando la aproximación de diferencias finitas:

Si comparamos el método de Newton-Raphson con el método de la secante, vemos que el método de Newton-Raphson converge más rápido (para 2 en contra α ≈ 1,6). Sin embargo, el método de Newton-Raphson requiere la...