MATEMATICA IV
Páginas: 9 (2230 palabras)
Publicado: 2 de octubre de 2014
Matemática IV
“Sistema de Ecuaciones Lineales”
Ana L. Gamarra Carrasco
agamarrac@upao.edu.pe
Escuela de Ingeniería Civil - UPAO
Septiembre, 2014
Matrices
Matrices
Una matriz consiste en un arreglo rectangular de elementos
representado por un símbolo.
aij designa un elemento individual de la matriz.
2 of 51
Matrices
Ejemplo
[A] =
es una matriz de 4 × 3.3 of 51
5
1
2
5
1
3
7
3
2
7
8
2
Matrices
Reglas de operaciones con matrices
Dos matrices n por m son iguales si, y sólo si, cada elemento en la
primera matriz es igual a cada elemento en la segunda matriz; es
decir, [A] = [B] si aij = bij para todo i y j.
La suma de dos matrices, por ejemplo, [A] y [B], se obtiene al
sumar los términoscorrespondientes de cada matriz. Los
elementos de la matriz resultante [C ] son:
cij = aij + bij .
La diferencia de dos matrices, por ejemplo, [A] y [B], se obtiene al
diferenciar los términos correspondientes de cada matriz. Los
elementos de la matriz resultante [C ] son:
4 of 51
cij = aij − bij .
Matrices especiales
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es aquella donde aij = aji para todo iy j.Por
ejemplo,
5 1 2
[A] = 1 3 7
2 7 8
es una matriz simétrica de 3 por 3.
5 of 51
Matrices especiales
Matriz diagonal
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada donde todos los
elementos fuera de la diagonal principal son iguales a cero,
[A] =
6 of 51
a11 0
0
0
0 a22 0
0
0
0 a33 0
0
0
0 a44
Matricesespeciales
Matriz identidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal donde todos los
elementos sobre la diagonal principal son iguales a 1,
[I] =
7 of 51
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Matrices especiales
Matriz triangular superior
Una matriz triangular superior es aquella donde todos los elementos
por debajo de la diagonalprincipal son cero,
[A] =
8 of 51
a11 a12 a13
0 a22 a23
0
0 a33
0
0
0
a14
a24
a34
a44
Matrices especiales
Matriz triangular inferior
Una matriz triangular inferior es aquella donde todos los elementos por
arriba de la diagonal principal son cero,
[A] =
9 of 51
a11 0
0
0
a21 a22 0
0
a31 a32 a33 0
a41 a42 a43 a44
Matrices especiales
Matriz a bandas
Una matriz a bandas tiene todos los elementos iguales a cero, con la
excepción de una banda centrada sobre la diagonal principal:
[A] =
10 of 51
a11 a12 0
0
a21 a22 a23 0
0 a32 a33 a34
0
0 a43 a44
Matrices especiales
Multiplicación de una matriz por un escalar
La multiplicación de unamatriz [A] por un escalar g se obtiene al
multiplicar cada elemento de [A] por g, como en
11 of 51
Matrices especiales
Multiplicación de dos matrices
El producto de dos matrices se representa como [C ] = [A][B], donde
los elementos de [C ] están definidos como
m
cij =
aik bkj
k=1
12 of 51
Matrices especiales
La transpuesta de una matriz [A], implica transformar susrenglones en columnas y viceversa. Se denota por [A]T
La traza de una matriz es la suma de los elementos en su diagonal
principal, se designa como tr [A] y se calcula como
n
tr [A] =
aii
i=1
13 of 51
Matrices Especiales
Operaciones Elementales con las Filas de una Matriz
El intercambio de la fila i y la fila j, lo denotaremos como:
fi ↔ fj .
El producto de todos los elementos de lafila i por una constante
c = 0, se denota por:
cfi.
Sumar a los elementos de la fila j los correspondientes de la fila i
multiplicados por una constante c = 0, se denota por:
cf1 + fj .
14 of 51
Matrices Equivalentes
Matrices Equivalentes
Dos matrices A y B se llaman equivalentes, y se denota con A ∼ B, si
B se obtiene a partir de A mediante un número finito de operaciones
elementales...
“Sistema de Ecuaciones Lineales”
Ana L. Gamarra Carrasco
agamarrac@upao.edu.pe
Escuela de Ingeniería Civil - UPAO
Septiembre, 2014
Matrices
Matrices
Una matriz consiste en un arreglo rectangular de elementos
representado por un símbolo.
aij designa un elemento individual de la matriz.
2 of 51
Matrices
Ejemplo
[A] =
es una matriz de 4 × 3.3 of 51
5
1
2
5
1
3
7
3
2
7
8
2
Matrices
Reglas de operaciones con matrices
Dos matrices n por m son iguales si, y sólo si, cada elemento en la
primera matriz es igual a cada elemento en la segunda matriz; es
decir, [A] = [B] si aij = bij para todo i y j.
La suma de dos matrices, por ejemplo, [A] y [B], se obtiene al
sumar los términoscorrespondientes de cada matriz. Los
elementos de la matriz resultante [C ] son:
cij = aij + bij .
La diferencia de dos matrices, por ejemplo, [A] y [B], se obtiene al
diferenciar los términos correspondientes de cada matriz. Los
elementos de la matriz resultante [C ] son:
4 of 51
cij = aij − bij .
Matrices especiales
Matriz simétrica
Una matriz simétrica es aquella donde aij = aji para todo iy j.Por
ejemplo,
5 1 2
[A] = 1 3 7
2 7 8
es una matriz simétrica de 3 por 3.
5 of 51
Matrices especiales
Matriz diagonal
Una matriz diagonal es una matriz cuadrada donde todos los
elementos fuera de la diagonal principal son iguales a cero,
[A] =
6 of 51
a11 0
0
0
0 a22 0
0
0
0 a33 0
0
0
0 a44
Matricesespeciales
Matriz identidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal donde todos los
elementos sobre la diagonal principal son iguales a 1,
[I] =
7 of 51
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Matrices especiales
Matriz triangular superior
Una matriz triangular superior es aquella donde todos los elementos
por debajo de la diagonalprincipal son cero,
[A] =
8 of 51
a11 a12 a13
0 a22 a23
0
0 a33
0
0
0
a14
a24
a34
a44
Matrices especiales
Matriz triangular inferior
Una matriz triangular inferior es aquella donde todos los elementos por
arriba de la diagonal principal son cero,
[A] =
9 of 51
a11 0
0
0
a21 a22 0
0
a31 a32 a33 0
a41 a42 a43 a44
Matrices especiales
Matriz a bandas
Una matriz a bandas tiene todos los elementos iguales a cero, con la
excepción de una banda centrada sobre la diagonal principal:
[A] =
10 of 51
a11 a12 0
0
a21 a22 a23 0
0 a32 a33 a34
0
0 a43 a44
Matrices especiales
Multiplicación de una matriz por un escalar
La multiplicación de unamatriz [A] por un escalar g se obtiene al
multiplicar cada elemento de [A] por g, como en
11 of 51
Matrices especiales
Multiplicación de dos matrices
El producto de dos matrices se representa como [C ] = [A][B], donde
los elementos de [C ] están definidos como
m
cij =
aik bkj
k=1
12 of 51
Matrices especiales
La transpuesta de una matriz [A], implica transformar susrenglones en columnas y viceversa. Se denota por [A]T
La traza de una matriz es la suma de los elementos en su diagonal
principal, se designa como tr [A] y se calcula como
n
tr [A] =
aii
i=1
13 of 51
Matrices Especiales
Operaciones Elementales con las Filas de una Matriz
El intercambio de la fila i y la fila j, lo denotaremos como:
fi ↔ fj .
El producto de todos los elementos de lafila i por una constante
c = 0, se denota por:
cfi.
Sumar a los elementos de la fila j los correspondientes de la fila i
multiplicados por una constante c = 0, se denota por:
cf1 + fj .
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Matrices Equivalentes
Matrices Equivalentes
Dos matrices A y B se llaman equivalentes, y se denota con A ∼ B, si
B se obtiene a partir de A mediante un número finito de operaciones
elementales...
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