matematica :matrices y determinantes

¿Qué es matriz?
Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.Ejemplo
Dada la matriz

Es una matriz de tamaño. La entrada  es 7.
La matriz 

Es una matriz de tamaño: un vector fila con 9 entradas.

Orden de una matriz.

Una matriz que tenga m filas y n columnas se denomina matriz de orden m x n. La matriz A es de orden 3 x 3 (pero nunca pensemos que es de orden 9).
El orden nos indica el número de filas y de columnas que tiene un matriz,es decir, una matriz de orden p x q significa que tiene p filas y g columnas.

Ejemplo:

La matriz 3 -1 4 es de orden 2 x 3 porque tiene 2 filas
2 0 1 y 3 columnas.
Una matriz con una fila y n columnas es un vector en 1Rn .

Ejemplo:
A = (a11, a12, a13) es un vector en 1R3.
B = (b11, b12, …. b32nn) es un vector en 1Rn.
De forma similar, si tenemos una matriz con m filas y una solacolumna entonces tenemos un vector en 1Rn.
Ejemplos:
a11
A = a12 es un vector en 1R3.
a13

Expresión general de una matriz de orden m x n.

Se escribe dando una expresión para los elementos de filas y columnas: 
por convención definimos el elemento A (i,j) de la matriz A mxn como el elemento de la fila i, columna j. 
Si buscas escribir la matriz en forma de arreglo de elementosnormalmente se escribe con puntos de esta forma: 

| a(1,1) . . . a(1,n) | 
|     .               .   | 
|     .               .   | 
|     .               .   | 
| a (m,1) . . .a(m ,n)| 


Un ejemplo muy común: La matriz identidad. 

La matriz identidad I n x n se define como: 
I(i,j) = {1 si i=j 
        {0 si i ≠ j 

o bien: 

| 1 0 0 . . . 0 | 
| 0 1 0 . . . 0 | 
| 0 0 1 . . . 0 | | .  .  .        . | 
| 0 0 0 . . . 1 |

Tipos de matrices
Atendiendo a la forma:
Matriz fila: Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna: tiene una sola columna

Matriz cuadrada: si tiene el mismo número de filas que de columnas.

Ejemplos de matriz cuadrada:

Puede ser una matriz con valores 


O también una matriz con subíndices (Genérica)


Puedeser de otro tamaño e incluso con variables 

Atendiendo a los elementos:

Matriz nula es una matriz con todos sus elementos nulos, o sea de valor cero.

ejemplos de matrices nulas son:


Matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si:


Ejemplo:Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Matriz unidad: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.
Ejemplo

Matriz triangular superior: Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo:

Matriz triangular inferior:los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo:

Igualdad de matrices.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales
Ejemplo:

Suma y propiedades de matrices.
Suma de matrices
Si las matrices A=(aij) y B=(bij) tienen la misma dimensión, la matriz suma es:
A+B=(aij+bij).La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Ejemplo:
Propiedades de la suma de matrices.
Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto:
A +...