Matematica Para Bachillerato

Problema resuelto

En la figura se muestra un círculo fijo C 1 con ecuación x − 1 2  y 2  1 y un círculo C 2 con centro en el origen y radio r que se está contrayendo. P es el punto concoordenadas 0, r, Q es el punto en el primer cuadrante donde se intersectan los círculos y R es el punto a, 0, en donde la recta que pasa por los puntos P y Q corta al eje x. ¿Que le sucede al punto R alcontraerse C 2 , es decir, cuando r → 0  ?
2

P
C2

Q
1

-2

-1

1

2

3

R

4

-1

C1

-2

Solución
Primero encontremos las coordenadas del punto de interseccón de loscírculos en términos del radio del círculo que se contrae r. Como la ecuación de éste círculo es x 2  y 2  r 2 se tiene que y 2  r 2 − x 2 . Despejando y 2 en la ecuación del circulo C 1 se tieney 2  1 − 1 − x 2 . Ahora podemos igualar las ecuaciones y despejar x en términos de r para obtener el punto de intersección r 2 − x 2  1 − 1 − x 2 r 2 − x 2  1 − x 2  2x − 1 r 2  2x
2 x r 2Ya hemos obtenido la coordenada x del punto de intersección. Para obtener el valor de y evaluamos en la ecuación del círculo x 2  y 2  r 2 , obteniendo y  r2 − x2 r −
2

r2 2

2

4r 2 − r 4  4

r 2 4 − r 2  2



r 4 − r2 2
2 r2 , r 4 − r 2 2

Por lo tanto, las coordenadas del punto Q, donde se intersectan los dos círculos son

Ahora podemos encontrar la ecuaciónde la recta que pasa por los puntos P y Q. La pendiente de la recta es 1

y2 − y1 m  x −x 2 1

r 4 − r2 −r r r 4 − r 2 − 2r 2    r2 r2 − 0 2

4 − r2 − 2 r2



4 − r2 − 2 r y − y 0 mx − x 0  y−r  y 4 − r2 − 2 x − 0 r 4 − r2 − 2 xr r

Usando la fórmula punto pendiente para encontrar la ecuación de la recta se tiene

Para encontrar el punto R donde la recta corta al eje xhacemos y  0 y despejamos x 0 4 − r2 − 2 x  −r r x Es decir que las coordenadas del punto R son a, 0  −r 2 4 − r2 − 2 ,0 −r 2 4 − r2 − 2 4 − r2 − 2 xr r

Finalmente, calculando el límite...