Matematica Para Economistas Uncp
Páginas: 3 (511 palabras)
Publicado: 2 de agosto de 2011
Matematica para economistas tipeo de lo que deja el profesor
Ejemplo 3.- Halle las trayectorias y*(t), u*(t) y λ*(t) que resuelvan el problema:
Maximizar V = 01uy-u2-y2dtSujeto a: y´= y + u
Y(1)=2
La función Hamiltoniana del problema es la siguiente:
H (t,y,u, λ) = uy - u2 - y2 + λ(y + u)
Tal como seobserva, la función Hamiltoniana depende de manera no lineal de “u”; por tanto, la solución al problema es interior y debe satisfacer las siguientes condiciones
∂H∂u=y-2u+ λ=0
∂2H∂u2= -2 ≤0
A partirde esta condición de maximización, expresamos la variable de control en función del resto de variables u = (λ + y)/2 Las ecuaciones de movimiento de las variables de estado y coestado son:
y´=∂H∂y=y+u
λ´= -∂H∂y= -u+2y- λ
Para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales, resulta conveniente expresarlo matricialmente de la siguiente forma:
1001y´λ´+-3/2-1/2-3/23/2yλ=00
Conlas condiciones λ5=0 e y(1) =2.
La solución general del problema viene dada por:
y*(t)λ*(t)=G1er1t+ G2er2tH1er1t+H2er2t+JK …(27)
La integral particular del sistema de ecuaciones está dadapor:
JK=00
Las raíces características se obtienen a partir del siguiente determinante:
1001r+ -3/2-1/2-3/23/2=0
Que forma la siguiente ecuación característica:
r2-3=0
Para r1= 3 sepuede obtener la relación existente entre G1 y H1 :
-32+ 3-1/2-3/232- 3
H1=G2(-23-3)
Una solución más simplificada de (27), que incorpore las relaciones existentes entre los coeficientes Hi y Gi(i=i,2) y la integral particular, es la siguiente:
y*(t)λ*(t)= G1e3tG2e-3tG1(23-3)e3tG2(-23-3)e-3t …(28)
Los valores de G1 y G2 se obtienen al evaluar las sendas óptimas de la variable de estadoy coestado en los puntos λ5=0 e y1=2. A partir de esos puntos se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
λ5= G123-3e53+G2-23-3e-53=0
Resolver este sistema de ecuaciones arroja como...
Ejemplo 3.- Halle las trayectorias y*(t), u*(t) y λ*(t) que resuelvan el problema:
Maximizar V = 01uy-u2-y2dtSujeto a: y´= y + u
Y(1)=2
La función Hamiltoniana del problema es la siguiente:
H (t,y,u, λ) = uy - u2 - y2 + λ(y + u)
Tal como seobserva, la función Hamiltoniana depende de manera no lineal de “u”; por tanto, la solución al problema es interior y debe satisfacer las siguientes condiciones
∂H∂u=y-2u+ λ=0
∂2H∂u2= -2 ≤0
A partirde esta condición de maximización, expresamos la variable de control en función del resto de variables u = (λ + y)/2 Las ecuaciones de movimiento de las variables de estado y coestado son:
y´=∂H∂y=y+u
λ´= -∂H∂y= -u+2y- λ
Para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales, resulta conveniente expresarlo matricialmente de la siguiente forma:
1001y´λ´+-3/2-1/2-3/23/2yλ=00
Conlas condiciones λ5=0 e y(1) =2.
La solución general del problema viene dada por:
y*(t)λ*(t)=G1er1t+ G2er2tH1er1t+H2er2t+JK …(27)
La integral particular del sistema de ecuaciones está dadapor:
JK=00
Las raíces características se obtienen a partir del siguiente determinante:
1001r+ -3/2-1/2-3/23/2=0
Que forma la siguiente ecuación característica:
r2-3=0
Para r1= 3 sepuede obtener la relación existente entre G1 y H1 :
-32+ 3-1/2-3/232- 3
H1=G2(-23-3)
Una solución más simplificada de (27), que incorpore las relaciones existentes entre los coeficientes Hi y Gi(i=i,2) y la integral particular, es la siguiente:
y*(t)λ*(t)= G1e3tG2e-3tG1(23-3)e3tG2(-23-3)e-3t …(28)
Los valores de G1 y G2 se obtienen al evaluar las sendas óptimas de la variable de estadoy coestado en los puntos λ5=0 e y1=2. A partir de esos puntos se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
λ5= G123-3e53+G2-23-3e-53=0
Resolver este sistema de ecuaciones arroja como...
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