Matematica Para Economistas

EL CASO DEL TIEMPO INFINITO
En Los Hogares en El Gobierno Enfrentan Un Horizonte De planificación Infinito. Para simplificar el análisis suponga que nos encontramos en un caco de una economía abierta y pequeña, con r determinado exógenamente por el equilibrio internacional.
Ahora la caracterización del gobierno su restricción presupuestal es,
B_(t+1)^g-B_t^g=T_t^y+T_t^o+〖rB〗_t^g 〖-G〗_tG_t/(1+r)=(T_t^y 〖+T〗_t^o)/(1+r)+B_t-B_(t+1)/(1+r)
〖-B〗_t=(T_t^y 〖+T〗_t^o)/(1+r)-G_t/(1+r)-B_(t+1)/(1+r)
Adelantamos un periodo:
〖-B〗_(t+1)=(T_(t+1)^y 〖+T〗_(t+1)^o)/(1+r)-G_(t+1)/(1+r)-B_(t+2)/(1+r)
G_t/(1+r)=(T_t^y 〖+T〗_t^o)/(1+r)+B_t+(T_(t+1)^y+T_(t+1)^o)/((〖1+r)〗^2 )-G_(t+1)/((〖1+r)〗^2 )-B_(t+2)/((〖1+r)〗^2 )

G_t/(1+r)=(T_t^y 〖+T〗_t^o)/(1+r)+B_t+(T_(t+1)^y 〖+T〗_(t+1)^o)/((〖1+r)〗^2)-G_(t+1)/((〖1+r)〗^2 )—(T_(t+2)^y+T_(t+2)^o)/((〖1+r)〗^3 )-G_(t+2)/〖(1+r)〗^3 -B_(t+3)/((〖1+r)〗^3 )
.
.
.
G_t/(1+r)=(T_t^y+T_t^o)/(1+r)+B_t+∑_(i=t+1)^∞▒(T_i^y 〖+T〗_i^o)/((〖1+r)〗^(i-t-1) )-∑_(i=t+1)^∞▒G_i/((〖1+r)〗^(i-t-1) )-lim┬(i ↑∞)⁡〖B_(i+t)/((〖1+r)〗^(i-t) )〗
G_t=T_t^y+T_t^o+(1+r) B_t+∑_(i=t)^∞▒(T_i^y 〖+T〗_i^o)/((〖1+r)〗^(i-t) )-∑_(i=t)^∞▒G_i/((〖1+r)〗^(i-t) )∑_(i=t)^∞▒G_i/((〖1+r)〗^(i-t) )=∑_(i=t)^∞▒(T_i^y 〖+T〗_i^o)/((〖1+r)〗^(i-t) )+(1+r) B_t
∀t=0,1,2,..∞

GENERACIONES TRASLAPADAS Y DEFICIT FISCAL
U(C(_t^y);C(_t+1^0))= log⁡〖C_t^y 〗+ βlog⁡〖C_(t+1)^0 〗

S.A.⌊Y_t^y- T_t^y= (Y_(t+1- T_(t+1))^0)/(1+r)+ C_t^y+(C_(t+1)^0)/(1+r)⌋

L= log⁡〖C_t^y 〗+ βlog⁡〖C_(t+1)^0 〗+ λ⌊Y_t^y- T_t^y+ (Y_(t+1- T_(t+1))^0)/(1+r)- C_t^y- (C_(t+1)^0)/(1+r)⌋

∂L/(∂C_t^y )=1/(C_t^y )- λ=0 λ= 1/(C_t^y )

∂L/(∂C_(t+1)^y )= β/(C_(t+1)^0 )- λ/(1+r)= 0

ECUACION DE EULER – ÓPTIMO

Despejamos el consumo del individuo en t cuando es joven
C_t^y= (C_(t+1)^0)/(β(1+r))
Buscamos el nivel de consumo óptimo de cada individuo en cada periodo del tiempo.
REEMPLAZANDO R.P:

C_t^y+(β(1+r)C_t^y)/((1+r))=Y_t^y-T_t^y+(Y_(t+1- T_(t+1)^0)^0)/(1+r)
C_t^y (1+β)=Y_t^y-T_t^y+(Y_(t+1- T_(t+1)^0)^0)/(1+r)


Máximo del consumo del periodo t

(C_(t+1)^0)/(β(1+r))+ (C_(t+1)^0)/((1+r))=Y_t^y-T_t^y+ (Y_(t+1- T_(t+1))^0)/(1+r)
(C_(t+1)^0+βC_(t+1)^0)/(β(1+r))=(.)
C_(t+1)^0+βC_(t+1)^0= β(1+r)(.)
C_(t+1)^0(1+β)=β(1+r)(.)
C_(t+1)^0=β/(1+β) (1+r)(.)

C_t Consumo agregado

→ C_t= C_t^y+C_t^0
En cada momento del tiempo el consumo agregado, que notaremos por C_t,es igual el consumo que hagan los jóvenes del periodo t mas los viejos del mismo período
C_t=C_t^y+C_t^0


Ahora la caracterización del gobierno .su restricción presupuestal es,B_(t+1)^g-B_t^g=T_t^y+T_t^o+〖rB〗_t^g 〖-G〗_t

G_t/(1+r)=(T_t^y 〖+T〗_t^o)/(1+r)+B_t-B_(t+1)/(1+r)

〖-B〗_t=(T_t^y 〖+T〗_t^o)/(1+r)-G_t/(1+r)-B_(t+1)/(1+r)

〖-B〗_(t+1)=(T_(t+1)^y 〖+T〗_(t+1)^o)/(1+r)-G_(t+1)/(1+r)-B_(t+2)/(1+r)

G_t/(1+r)=(T_t^y 〖+T〗_t^o)/(1+r)+B_t+(T_(t+1)^y+T_(t+1)^o)/((〖1+r)〗^2 )-G_(t+1)/((〖1+r)〗^2 )-B_(t+2)/((〖1+r)〗^2 )

G_t/(1+r)=(T_t^y 〖+T〗_t^o)/(1+r)+B_t+(T_(t+1)^y〖+T〗_(t+1)^o)/((〖1+r)〗^2 )-G_(t+1)/((〖1+r)〗^2 )+(T_(t+2)^y+T_(t+2)^o)/((〖1+r)〗^3 )-G_(t+2)/((〖1+r)〗^3 )-B_(t+3)/((〖1+r)〗^3 )
……………………..
G_t/(1+r)=(T_t^y+T_t^o)/(1+r)+B_t+∑_(i=t+1)^∞▒(T_i^y 〖+T〗_i^o)/((〖1+r)〗^(i-t-1) )-∑_(i=t+1)^∞▒G_i/((〖1+r)〗^(i-t-1) )-lim┬(i ↑∞)⁡〖B_(i+t)/((〖1+r)〗^(i-t) )〗

G_t=T_t^y+T_t^o+(1+r) B_t+∑_(i=t)^∞▒(T_i^y 〖+T〗_i^o)/((〖1+r)〗^(i-t))-∑_(i=t)^∞▒G_i/((〖1+r)〗^(i-t) )

∑_(i=t)^∞▒G_i/((〖1+r)〗^(i-t) )=∑_(i=t)^∞▒(T_i^y 〖+T〗_i^o)/((〖1+r)〗^(i-t) )+(1+r) B_t
∀t=0,1,2,..∞

C_t^(y*)=C^(y*)=1/(1+β) (Y^y-T^y+(Y^O 〖-T〗^O)/(1+r))

C_(t+1)^(o*)=C^(0*)=(1+r)β/(1+β) (Y^y-T^y+(Y^O 〖-T〗^O)/(1+r))
Por lo tanto:
〖C 〗_t 〖=C〗_t^(y*)+C_t^(o*)

〖C 〗_t=((1+(1+r)β)/(1+β))(Y^y-T^y+(Y^O 〖-T〗^O)/(1+r))
Por otro lado,...