MATEMATICA PARA INGENIERIA TRAMO I PARTE D

DERIVADAS PARCIALES

DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Si z = f(x,y), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x y y
son las funciones fx y fy definidas por



Para hallar fx se considera y constante y se deriva con respecto a x. De manera similar, para calcular fy, se considera x constante y se deriva conrespecto a y.


DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES

Si w = f(x,y,z), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x, y y z
son las funciones fx, fy y fz definidas por






Para hallar la derivada parcial con respecto a una de las variables, se mantienen constantes las otras variables y se deriva con respecto a la variabledada.

Es importante tener presente que las derivadas parciales de una función de dos variables, z =f(x,y) tienen una interpretación geométrica útil. Informalmente, los valores  y  en un punto (x0,y0,z0) denotan las pendientes de la superficie en las direcciones de x y y, respectivamente. Ver las siguientes figuras:

z















DERIVADAS PARCIALES DE ORDENSUPERIOR
Como sucede en las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc. Derivadas parciales de una función de varias variables. Por ejemplo:

1) Derivar dos veces con respecto a x:

2) Derivar dos veces con respecto a y:

3) Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

4) Derivar primero con respecto a y y luego conrespecto a x:


Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas.

IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS
Si f es una función de x y y y tal que fxy y fyx son continuas, entonces, para todo (x,y)
fxy(x,y) = fyx(x,y)

Ejemplo 1

Aplique la definición de derivada parcial para calcular fx(x,y) y fy(x,y) si:
f(x,y) = 3x2 – 2xy + y2


Solución


= 
=Ejemplo 2

Hallar las derivadas parciales fx y fy de la función f(x,y) = 3x - x2y2 + 2x3y.
Solución

 f(x,y) = 3x - x2y2 + 2x3y
fx(x,y) = 3 - 2xy2 + 6x2y

 f(x,y) = 3x - x2y2 + 2x3y
fy(x,y) = -2x2y + 2x3



Ejemplo 3

Dada f(x,y) = hallar fx y fy, y evaluar cada una en el punto (1,ln2).
Solución

 f(x,y) = 
fx(x,y) = 
fx(1,ln2) = 

 f(x,y) = 
fy(x,y) = fy(1,ln2) = 


Ejemplo 4

Hallar las pendientes en las direcciones de x y de y de la superficie dada por f(x,y) = -  en el punto (1/2,1,2).
Solución

 f(x,y) = - 
fx(x,y) = -x
Pendiente en la dirección de x es:
fx(1/2,1) = - 
 f(x,y) = - 
fy(x,y) = -2y
Pendiente en la dirección de y es:
fy(1/2,1) = -2(1) = -2


Ejemplo 5

Hallar la derivada parcial de f(x,y,z) = xy + yz2 +xz con respecto a z.
Solución

fz(x,y,z) = 2yz +x

Ejemplo 6

Dada f(x,y,z) = z.sen(xy2 + 2z), hallar fz(x,y,z).
Solución

fz(x,y,z) = z.cos(xy2 + 2z) + sen(xy2 + 2z) = 2z. cos(xy2 + 2z) + sen(xy2 + 2z)

Ejemplo 7

Dada f(x,y,z,w) = , hallar fw(x,y,z,w).


Solución

fw(x,y,z,w) = 

Ejemplo 8

Dada f(x,y) = 3xy2 – 2y + 5x2y2, hallar fxx(x,y), fyy(x,y), fxy(x,y) y fyx(x,y).Solución

 fx(x,y) = 3y2 + 10xy2
fxx = 10y2

 fy(x,y) = 6xy – 2 + 10x2y
fyy= 6x + 10x2

 fxy(x,y) = 6y + 20xy

 fyx(x,y) = 6y + 20xy

Ejemplo 9

Demostrar que fxz = fzx y fxzz = fzxz = fzzx para la función dada por:
f(x,y,z) = y



Solución

 fx(x,y,z) = y.
 fz(x,y,z) = 

 fxz(x,y,z) = fxz(x,y,z) = fzx(x,y,z)
 fzx(x,y,z) = 

 fxzz(x,y,z) = 
 fzxz(x,y,z) =  fxzz(x,y,z) = fzxz(x,y,z) = fzzx(x,y,z)
 fzzx(x,y,z) = 


EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Encuentre fx(x,y) y fy(x,y) dadas:
a) z =
b) z = 
c) z = 
d) z = 
e) z = sen(3x).cos(3y)

2) Empleando la definición de derivadas, calcule fx(x,y) y fy(x,y) dada:...