matematica pura

UNA NOTA SOBRE DICOTOMIA
EXPONENCIAL

JONATHAN GONZALEZ OSPINO

Trabajo de grado presentado como requisito parcial
para optar al t´
ıtulo de Matem´tico
a

Director
RONALD PATERNINA
Magister

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
PROGRAMA DE MATEMATICAS
BARRANQUILLA
JULIO 2006

Nota de aprobaci´n
o

El trabajo de grado titulado: Una Nota Sobre Dicotom´Exponencial, preıa
sentado por el estudiante Jonathan Gonz´lez Ospino como requisito parcial
a
para optar al t´
ıtulo de Matem´tico, fue evaluado y calificado por los evalua
adores:

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Director

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Jurado

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Secretario Acad´mico
e

Agradecimientos
Aprovecho este espacio para expresar mis m´s sincerosagradecimientos a las
a
dos personas que con sus sacrificios y apoyo me han dado la oportunidad de
recibir la formaci´n que en estos momentos poseo, mis padres.
o
Agradezco a los profesores, sus ense˜anzas ofrecieron un conocimiento imn
portante para el desarrollo del trabajo. En especial, quiero agradecer a mi
asesor porque con su disposici´n se llev´ a cabo la culminaci´n del trabajo.
o
o
oGracias tambi´n a todas aquellas personas que me apoyaron y brindaron los
e
recursos y medios necesarios para la elaboraci´n de este manuscrito.
o
Por ultimo, manifiesto mi gratitud a una persona muy importante en mi vida,
´
el Se˜or Jesucristo.
n

iii

Contenido
Introducci´n
o

1

Resumen

2

Objetivos
Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Objetivos Espec´
ıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
3

1. Preliminares
1.1. Sucesi´n de Funciones . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.1.1. Convergencia Uniforme . . . . . . . . . . .
1.1.2. Espacios de Banach . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Equicontinuidad . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Operadores entre Espacios de Banach . . . . . . .
1.3. Sistemasde Ecuaciones Diferenciales
Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Matriz Fundamental . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Soluci´n General por medio de una Matriz
o
Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Dicotom´ Exponencial . . . . . . . . . . . . . . .
ıa

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4
. 4
. 4
. 6
. 12
. 13

. . . . . . . 15
. . . . . . . 18
. . . . . . . 19
. . . . . . . 21
. . . . . . . 23

2. Resultados
28
2.1. Admisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Teorema Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Bibliograf´
ıa

37

iv

Introducci´n
oEste documento es iniciado con nociones b´sicas de las sucesiones de funa
ciones como es la convergencia uniforme, la cual es utilizada para mostrar
que ciertos espacios de funciones son de Banach. Luego, hacemos menci´n
o
del teorema de Ascoli-Arzel´. Una aplicaci´n de este teorema se har´ en uno
a
o
a
de los ultimos resultados importantes de este trabajo.
´
Las ecuacionesdiferenciales son de gran inter´s a las personas que tienen
e
una estrecha relaci´n con las ciencias. Esta pasi´n se inici´ en los albores del
o
o
o
c´lculo con Isaac Newton (1642- 1727), y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646a
1716), en el siglo XVII. Aqu´ se hace un ligero trabajo de los sistemas de
ı
ecuaciones diferenciales lineales, demostrando un teorema de existencia y
unicidad, util para nuestrosprop´sitos.
´
o
Impulsado por las voces que present´ el impacto que producir´ la dicoıan
ıa
tom´ exponencial en la investigaci´n matem´tica, W. A. Coppel se decide
ıa
o
a
a publicar las notas de conferencias de un curso dado en la Universidad de
Florencia en Mayo, 1977. Esta obra titulada Dichotomies in Stability Theory,
ha sido de fundamento para el estudio y la extensi´n o...