Matematica tema 1
Ecuaciones Diferenciales Parciales
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı
July 1, 2010
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı Ecuaciones Diferenciales Parciales
Definici´n o
Definici´n o
Las ecuaciones diferenciales parciales son aquellas que involucran derivadas parciales de una o m´s variables dependientes con respecto a a uno a m´s variables independientes. Enparticular nos interresaremos en a las ecuaciones lineales en dos variables, las cuales tienen la forma: A(x, y ) δ2 u δ2 u δu δ2 u + B(x, y ) + C (x, y ) 2 + D(x, y ) 2 δx δxδy δy δx +E (x, y ) δu + F (x, y )u = G (x, y ) δy
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı Ecuaciones Diferenciales Parciales
Definici´n o
Soluci´n por integraci´n o o
De acuerdo con los cursos de c´lculo recordemos quecuando se integra a una derivada parcial aparece una funci´n arbitraria en lugar de una o constante de integraci´n. o
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı Ecuaciones Diferenciales Parciales
Definici´n o
Soluci´n por integraci´n o o
De acuerdo con los cursos de c´lculo recordemos que cuando se integra a una derivada parcial aparece una funci´n arbitraria en lugar de una o constante deintegraci´n. o Por ejemplo, la soluci´n de δu = 0 es u = f (y ), donde f es una funci´n o o δx diferenciable.
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı Ecuaciones Diferenciales Parciales
Definici´n o
Ejemplo
Resolver la ecuaci´n de segundo orden: o δ2 u =0 δy 2 ´ RESOLUCION:
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı Ecuaciones Diferenciales Parciales
Definici´n o
Ejemplo
Resolver laecuaci´n de segundo orden: o δ2 u =0 δy 2 ´ RESOLUCION: Integramos con respecto a y:
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı Ecuaciones Diferenciales Parciales
Definici´n o
Ejemplo
Resolver la ecuaci´n de segundo orden: o δ2 u =0 δy 2 ´ RESOLUCION: Integramos con respecto a y: δu = f (x) δy
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı Ecuaciones Diferenciales Parciales
Definici´n o
EjemploResolver la ecuaci´n de segundo orden: o δ2 u =0 δy 2 ´ RESOLUCION: Integramos con respecto a y: δu = f (x) δy y nuevamente:
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı Ecuaciones Diferenciales Parciales
Definici´n o
Ejemplo
Resolver la ecuaci´n de segundo orden: o δ2 u =0 δy 2 ´ RESOLUCION: Integramos con respecto a y: δu = f (x) δy y nuevamente: u = yf (x) + g (x)
Instituto Tecnol´gico deCalkin´ o ı Ecuaciones Diferenciales Parciales
Definici´n o
Resuelva:
δ2 u δu + = 1. δxδy δy
´ RESOLUCION:
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı Ecuaciones Diferenciales Parciales
Definici´n o
Resuelva:
δ2 u δu + = 1. δxδy δy
´ RESOLUCION: δu Hacemos v = δy y la ecuaci´n se transforma en: o δv +v =1 δx
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı Ecuaciones DiferencialesParciales
Definici´n o
Resuelva:
δ2 u δu + = 1. δxδy δy
´ RESOLUCION: δu Hacemos v = δy y la ecuaci´n se transforma en: o δv +v =1 δx y resolvemos como si fuera una ecuaci´n ordinaria: un factor integrante o ser´ e x ıa
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı Ecuaciones Diferenciales Parciales
Definici´n o
Resuelva:
δ2 u δu + = 1. δxδy δy
´ RESOLUCION: δu Hacemos v = δy y laecuaci´n se transforma en: o δv +v =1 δx y resolvemos como si fuera una ecuaci´n ordinaria: un factor integrante o ser´ e x ıa δ x (e v ) = e x . δx
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı Ecuaciones Diferenciales Parciales
Definici´n o
Resuelva:
δ2 u δu + = 1. δxδy δy
´ RESOLUCION: δu Hacemos v = δy y la ecuaci´n se transforma en: o δv +v =1 δx y resolvemos como si fuera una ecuaci´nordinaria: un factor integrante o ser´ e x ıa δ x (e v ) = e x . δx Luego v = 1 + F (y )e −x
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı Ecuaciones Diferenciales Parciales
Definici´n o
Usando la sustituci´n original e integrando con respecto a y resulta o u = y + f (y )e −x + g (x) donde se escribi´ f (y ) = o F (y )dy
Instituto Tecnol´gico de Calkin´ o ı Ecuaciones Diferenciales Parciales...
Regístrate para leer el documento completo.