MATEMATICA I Capitulo 2

Capítulo 2
Proporcionalidad y Porcentajes
Las Razones, Proporciones y Tanto por Ciento, tienen una variada aplicación en el mundo laboral. Cada una de estas materias presenta sus propias
características y procedimientos, y todas muy relacionadas entre sí.
Quizás, sean los porcentajes, el tema más recurrente en nuestra vida cotidiana, pues los encontramos en factores porcentuales en nuestrosueldo, en
nuestras líneas de crédito, en nuestras compras a plazo, en cifras estadísticas,
referidas a índices económicos informados en porcentajes, como el IPC, etc.

2.1.

Razones

Se entiende por Razón a la comparación de dos números mediante el
cuociente o división. Está compuesta de dos elementos que son el Antecedente
y el Consecuente.
Antecedente
a
!
Concecuente
b
se lee: a es a b

Ejemplo 1
Laeficiencia de un proceso administrativo se define como la cantidad de
operaciones de salidas realizadas satisfactoriamente y el número de operaciones totales ingresadas. Si ingresan 6.000 operaciones y salen 4.500 de ellas.
¿Cuál es la razón de eficiencia?
77

78

2.1. RAZONES

Solución

Operaciones Salida
4500
3
=
=
Operaciones Ingresadas
6000
4

Ejemplo 2
El ancho y el largo de un rectángulomiden 20 cm y 40 cm, respectivamente. ¿Cuál es la razón de la medida del ancho y el largo?
Solución

Ancho
20 cm
1
=
=
Largo
40 cm
2

Observaciones
Un porcentaje es una razón de consecuente 100.
Ejemplo

15
(15 de 100)
100
3
25
=
= 25 %
4
100

15 % =

Toda razón tiene asociado un cociente llamado valor de la razón.
a
Así, = k, donde k es el valor de la razón y k 2 R.
b
Ejemplo:

3
= 0, 75, el valorde la razón es k = 0, 75
4

Dos razones son equivalentes si tienen el mismo valor.
Ejemplo: 2:5 y 6:15, su valor es k = 0, 4

2.1.1.

Serie de Razones

Se llaman serie de razones, a la igualdad entre tres o más razones equivalentes. Es decir si:
a
b
c
= k;
= k;
=k
x
y
z
Entonces,

a
b
c
= = =k
x
y
z

CAPÍTULO 2. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

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Equivalentemente se escribe
a
b : }c = x : y : z| :{z
| {z }

antecedentes

Ejemplo: Las razones
forman la serie:

2 6
; ;
4 12

y

8
,
16

tienen el mismo valor k = 0, 5, que

2| : {z
6 : 8} = 4| : 12
{z : 16}

antecedentes

2.2.

consecuentes

consecuentes

Proporciones

Se entiende por Proporción a la igualdad de dos Razones equivalentes.
Está compuesta de dos Términos Medios y dos Términos Extremos.
Toda proporción puede escribirse de dosmaneras
a
c
=
b
d
o bien
a:b=c:d
Se lee a es a b como c es a d
En donde, a y d son los términos extremos y d y c son los términos medios.

2.2.1.

Propiedades de las Proporciones

Teorema Fundamental
En toda Proporción se cumple que el producto de Medios es igual al producto de Extremos.
a
c
= ,a·d=b·c
b
d
Ejemplo:
La razón entre los ingresos de dos profesionales de una empresa, es 10 :
12, elprofesional de mayor ingreso declara una renta mensual de $600.000.
Determinar la renta que percibe el profesional de menor ingreso.
Solución:
Formamos la proporción:
10
x
=
12
600000

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2.2. PROPORCIONES

Utilizando el teorema fundamental de las proporciones, tenemos que:
12 · x = 600000 · 10

Despejando el valor de x obtenemos

600000 · 10
) x = $500000
12
El profesional de menor ingreso recibeuna renta de $500.000
x=

2.2.2.

Tipos de proporcionalidad

Cuarta proporcional
Es cualquiera de los cuatro términos de una proporción.
a
c
= ) ax = bc
b
x
bc
x=
a
Ejemplo:
Hallar la cuarta proporcionalidad entre 5,3 y 8
Solución

5
8
= ) 5x = 24
3
x
24
x=
5

Tercera proporcional
Es el primero o cuarto término de una proporción con medios iguales.
a
b
= ) ax = b2
b
x
b2
x=
a
Ejemplo:
Hallar latercera proporcional de 3 y 7
Solución

3
7
= ) 3x = 49
7
x

CAPÍTULO 2. PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

x=

81

49
3

Media proporcional
Es cada uno de los términos medios cuando son iguales.
a
x
= ) ad = x2
x
d
p
ad = x
Ejemplo:
Hallar la media proporcional entre 5 y 9
Solución

5
x
= ) 45 = x2
x
9
p
p
45 = x ) x = 3 5

Ejercicios:

1). Hallar la cuarta proporcional de los conjuntos de números...