Matematica I - LIMITES (USS)

1

LÍMITES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
Definición 1. ( Límite de una Función )

Sea f: Dℝ ℝ una función. Se dice que el límite de la
función f(x) cuando x tiende a “a”, es igual a L, lo cual
se escribe como (“a” puede estar o no en D).

lim f(x)  L
xa


 >0  ()>0 tal que 0 < |x-a|<   |f(x)-L|<

Interpretación gráfica
y=f(x)
L+
f(x)
L

⁀
L-
‿
a-

a x a+

Límite de f(x)cuando x tiende a

☞

La definición rigurosa de límite

lim fx   L
xa



 >0  ()>0 tal que 0<|x-a|<  |f(x)-L|<

Ms. Marilyn Delgado Bernuí

2

Ejemplo 1. Demostrar

que lim 2x  1  3
x1

Solución
Dado >0

 >0 tal que

|x-4|<  |2x+1-3|<
f

|x-1|<  |2x-2|<
3+ 

|x-1|<  |x-1|</2
δ

3
3- 

ε


2

De donde

1

1-



1+

Gráficamente

Ejemplo 2. Demostrar que

lim xx1

3

 1

Solución
Dado >0



>0 tal que

|x-1|<  |x3-1|<
|x-1|<  |x-1||x2+x+1|< .....(1)
haciendo “=1”,|x-1|<1 -1
f

1+ 

1

1-




De donde 0 Reemplazando en (1):

1-

1



1+

El límite de f(x) cuando x se aproxima a 1

|x-1|<  |x-1|.7<

Ms. Marilyn Delgado Bernuí

3

ε

|x-1|<  |x-1|< 7
ε

de donde = 7
 ε
1 , 
=min  7 Por tanto

Donde “min” significa el mínimo del conjunto dado.
 ε
1 , 
Y la expresión =min  7  , debemos entenderlo de la siguiente

manera:
Que

si

Pero si

<7, entonces =/7
7, entonces =1

FORMULAS TRIGONOMETRICAS
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:
(x,y)

c

(x,y)

a

r



Sen=

Cos=

c

(1,0)



b

a



y
x

b

Sen =

c

y

Cos =

x

Sen=y

r

r

Tan=
Tan=

a
b

Cot=

b
a

Tan =y
x

Cot =

x

y
x

Cos=x

Cot=

x
y

y

Ms. Marilyn Delgado Bernuí

4

Sec=

c

Csc=

b

c

Sec =

a

r

Csc =

x

r

Sec=

y

1

Csc=

x

1
y

2. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Senx.Cscx=1

Tanx=

senx

Cosx.Secx=1

Cotx=

cosx

Sen2x+Cos2x=1

Tanx.Cotx=1

cos x
sen x

1+Tan2x=Sec2x

1+Cot2x=Csc2x

3. IDENTIDADES DE SUMAS Y DIFERENCIAS
Sen(xy)= Senx.Cosy  Seny.Cosx
Cos(x+y)=Cosx.Cosy–Senx.Seny
Cos(x–y)= Cosx.Cosy+Senx.Seny
4. FORMULAS DE REDUCCI0N
Se(-x)=Senx

Cos(-x)=Cos x

Sen(-x)=Sen x

Cos(-x)=-Cos x

TEOREMAS DE LÍMITES
Teorema 1. (Unicidad de los Límites)

Si

lim f(x)  L1
xa

y

lim f(x)  L
2
xa
,

entonces L1=L2.

Ms. Marilyn Delgado Bernuí

5

Teorema 2. ( Límite de la suma de funciones)

Si

lim f (x)  L1; lim f2 (x)  L2 ;; lim fn (x)  L n
xa 1
xa
xa

, entonces



lim f (x)  f2 (x) ...  fn (x)  L1  L2  ...  L n
xa 1

Ejemplo 1. lim





x3

Ejemplo 2.



x  1  3x  1  e

2
lim x  x   x
x 1

x



3
3
 2  10  e  12  e

=1-1+1=1

Teorema 3. ( Límite del producto de funciones )

Si

lim f(x)  L
xa

lim g(x)  M ,
xa

y

Ejemplo 3. lim

2x  7x  6  9.7  63

Ejemplo 4. lim

 

entonces





lim f(x).g(x) L.M.
xa

x1

x0

2

x

1

x1

x  1x  3  2(1)(1)(3)  6

Teorema 4. ( Límite de la división de funciones )

Si

lim f(x)  L
xa

Ejemplo 5.

y

lim g(x)  M  0
xa

2x  1
lim
x7

Ejemplo 6. lim

entonces

 f(x) L
lim

xa 
 g(x) M

13


3x  4

25

x 1

x5 3
2
x x



2
100



1
50

Ms. Marilyn Delgado Bernuí

6

Teorema 5.

Si

lim f(x)  L
xa

2x  2
x3

x1Ejemplo 7. lim

entonces

lim g(x)  M
xa

y

 gx   LM

lim f(x)
xa

4
 8

 

4x 11

ln x

Ejemplo 8.

lim
x1 2x - 1

15
 0 =

0

Teorema 8.

lim f(x)  L
xa



lim n f(x)  n lim f(x)
xa
xa
,

donde para n par, L>0

3 5
4
lim x  x   x  24  4
x 2

Ejemplo 9.

5
3
lim 5  9 x5  x 4   x  24  2
x

1
10.E

Ejemplo

2.2. Cálculo de límites

Consideraremos límites para loscuales nuestras propiedades de
los límites no se aplican y no pueden evaluarse por sustitución
directa.

La

técnica

consistirá

en

realizar

operaciones

algebraicas sobre f(x) de modo que obtengamos una forma en la
cual nuestras propiedades de los límites puedan aplicarse.
2.2.1 Caso algebraico
Cuando

las

funciones

que

intervienen

en

los

límites

son

algebraicas
Ms. Marilyn Delgado...

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