Matematica I

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA
NUCLEO ARAGUA – EXTENSIÓN CAGUA

Prof. Edgar J. Salazar P.

coopind@gmail.com

Matematica_Unefacagua
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CAGUA; 2012
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA
NUCLEO ARAGUA – EXTENSIÓN CAGUA

Prof. Edgar J. Salazar P.

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UNIDAD 2: LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL.
OBJETIVO DE APRENDIZAJE:
Calcular la derivada de funciones explícitas e implícitas, utilizando las reglas de derivación de funciones.

CONTENIDOS:
2.1Conceptos preliminares: Variación, incremento de una variable. Definición de la derivada de una
función por definición. Interpretación geométrica de la derivada.
2.2 Teoremas sobre derivabilidad. Funciones no derivables.
2.3 Derivadas de funciones elementales con argumento simple: Constante, Identidad, Potencial,
Exponenciales y Logarítmica. Álgebra de funciones derivables.
2.4 Regla de laCadena. Notación de Leibniz. Derivadas de orden superior. Derivación implícita.

INTRODUCCIÓN.
El problema de la tangente
Muchos de los problemas importantes del análisis matemático pueden transferirse o hacerse
depender de un problema básico que ha sido de interés para los matemáticos desde los griegos (alrededor
de 300-200 a. de J.C.). Es éste el problema de trazar una recta tangente a una curvadada en un punto
específico de la misma. Fue resuelto este problema por métodos especiales en un gran número de ejemplos
aislados aún en la temprana historia de las matemáticas. Por ejemplo, es bastante fácil resolver el
problema si la curva es una circunferencia, y todo estudiante ha visto esta solución en la geometría de
secundaria. Sin embargo, no fue si no hasta el tiempo de Isaac Newton(1642-1727) y de Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716) que se dio un método general sistemático para obtener la solución. En este
sentido se acredita a estos dos hombres la invención del cálculo.
Aunque el problema de la tangente pueda parecer de poco interés a los no matemáticos, el hecho
es que las técnicas desarrolladas para resolver el problema son la mera columna vertebral de gran partede
la ciencia y la tecnología actual, justifica sobradamente su estudio. Por ejemplo, la dirección del
movimiento de un objeto a lo largo de una curva en cada instante se define en términos de la dirección de
la recta tangente a la trayectoria de movimiento. Las órbitas de los planetas alrededor del sol y las de los
satélites artificiales alrededor de la Tierra, se estudian esencialmentecomenzando con la información
sobre la recta tangente a la trayectoria del movimiento. Un tipo diferente de problemas es el de estudiar la
descomposición de una sustancia radioactiva tal como el radio cuando se conoce que la razón de
descomposición en cada instante es proporcional a la cantidad de radio presente. La clave de este
problema así como la del problema del movimiento, está en un análisisde lo que queremos designar con la
palabra razón.
Como pronto veremos, este concepto está tan íntimamente relacionado con la pendiente de la
recta tangente a una curva, que la formulación matemática abstracta de un problema sobre razones es
indistinguible del de la formulación del problema de la tangente.
Empezamos con el problema de la tangente no solo por su importancia histórica ypráctica, sino
también porque la intuición geométrica del lector contribuirá a hacer concreta la que, de otro modo, sería
una noción abstracta.

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