Matematica I

Soluci´on Prueba Global -MatI
1. Calcular
(a)
lim
x!0
1 ¡ cos x
x2 = lim
x!0
1 ¡ cos x
x2
¢
1 + cos(x)
1 + cos(x)
= lim
x!0
sin2(x)
x2
¢
1
1 + cos(x)
= lim
x!0
sin2(x)
x2
¢lim
x!0
1
1 + cos(x)
lim
x!0
1 ¡ cos x
x2 = 1 ¢
1
1 + 1
=
1
2
(3.53)
(b)
lim
x!1
1
x+5 ¡ 1
6
x ¡ 1
= lim
x!1
6¡(x+5)
6(x+5)
x ¡ 1
= lim
x!1
6¡x¡5
6(x+5)
x ¡ 1
= lim
x!1¡x + 1
6(x + 5)(x ¡ 1)
= lim
x!1
¡(x ¡ 1)
6(x + 5)(x ¡ 1)
= lim
x!1
¡1
6(x + 5)
=
¡1
6(1 + 5)
= ¡
1
36
(3.54)
2. (a) Para calcular la derivada de esta funci´on debemos usar la regla dela cadena, por lo que obtenemos
f0(x) =
³
tan(5x2 cos(x))
´0
= sec2(5x2 cos(x)) ¢
³
5x2 cos(x)
´0
= sec2(5x2 cos(x)) ¢
³
10x cos(x) + 5x2(¡sin(x))
´
f0(x) = sec2(5x2 cos(x)) ¢
³
10xcos(x) ¡ 5x2 sin(x)
´
(3.55)
50 CAP´ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS
(b) Para encontrar la recta tangente que pasa por el punto x = 1
debemos primero derivar f(x)
f0(x) = 15x4 ¡ 105x2 + 180(3.56)
A continuaci´on debemos evaluar f(x) y f0(x) en x0 = 1
y0 = f(x0) = 15 ¡ 105 + 180 = 148 (3.57)
m = f0(x0) = 15 ¡ 105 + 180 = 90 (3.58)
Por lo tanto la recta tangente que pasa por x = 1 ser´ay = y0 + m(x ¡ x0) = 148 + 90(x ¡ 1) = 90x + 58 (3.59)
3. (a) Para este ejercicio, debemos primero encontrar los puntos cr´ıticos
de f(x). Para ello debemos derivar e igualar a cero.
f0(x) = x4 ¡7x2 + 12 (3.60)
f0(x) = 0 ) x4 ¡ 7x2 + 12 = 0
(x2 ¡ 3)(x2 ¡ 4) = 0 (3.61)
) x2 ¡ 3 = 0 ^ x2 ¡ 4 = 0
x2 = 3 x2 = 4
x = §
p
3 x = §2 (3.62)
Ahora, debemos saber si la funci´on es creciente odecreciente. Para
ello usaremos los puntos cr´ıticos, viendo si la primera derivada es
positiva o negativa.
En el intervalo (¡1;¡2] ) f0(x) > 0 ) f(x) es creciente
En el intervalo [¡2;¡
p
3] )f0(x) < 0 ) f(x) es decreciente
En el intervalo [¡
p
3;
p
3] ) f0(x) > 0 ) f(x) es creciente
En el intervalo [
p
3; 2] ) f0(x) < 0 ) f(x) es decreciente
En el intervalo [2;1) ) f0(x) > 0 )...