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Matemáticas Financieras: Fundamentos Matemáticos Manuel Cuellar Río

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1 Fundamentos Matemáticos
Con el fin de que tengan frescos sus conocimientos de álgebra haremos un breve repaso de los temas mayormente empleados en las matemáticas financieras. Como tal, este repaso no es sustituto de un curso formal de álgebra, así que si encuentran difíciles algunos de los temas les recomiendo quetengan a la mano un libro de esa materia. Los que recomiendo son: Álgebra, Trigonometría, y Geometría Analítica de Smith et al., y Álgebra de Baldor. Ambos libros están disponibles en la librería de la UMAR. El hecho de que haya asignado como parte de la bibliografía básica al primero de estos libros les debe dar una idea de la importancia de mi recomendación. Por otro lado, no deben sentirfrustración si se creen desorientados en las primeras clases. Pronto se darán cuenta de que las matemáticas financieras son, sobre todo, operativas; esto significa que el requisito básico para entenderlas es practicar una y otra vez. No obstante, los exhorto a que acudan a mí a partir del día uno si es que creen que puedo ayudarlos en algo.

Exponentes
La expresión a n se lee como “ a elevado a la n −ésima potencia,” donde a a se le llama base y se representa con cualquier número real, y a n se le llama exponente y se representa con cualquier número entero y positivo. En a n n indica las veces que a aparecerá como factor. Leyes de los exponentes Considera los números reales ≠ 0 a y b , y los números enteros positivos m y n . • • Producto de dos potencias de la misma base: a m ⋅ a n = a m + nCociente de dos potencias de la misma base: Potencia de una potencia: a m

am = a m−n n a

•

( )

n

= a mn
n

•

Potencia del producto de dos factores: (ab ) = a n ⋅ b n

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•
•

an ⎛a⎞ Potencia del cociente de dos factores: ⎜ ⎟ = n a ⎝b⎠
Exponente cero: a 0 = 1 podemos entenderla partiendo de la am amigualdad m = 1 . Ahora, ya sabemos que m = a m − m lo que a a es igual a a 0 , por lo tanto a 0 = 1

n

•

Exponente

negativo:

a −n =

1 an

se

puede

entender

considerando que, por ejemplo, también

a3 = a 3−5 = a −2 pero que a5 1 1 a3 a⋅a⋅a = = 2 , por lo tanto = 5 a⋅a⋅a⋅a⋅a a⋅a a a

a −2 =
•

1 a2

Exponente fraccionario: a m / n = n a = n a m se clarifica con elsiguiente ejemplo. Observa que a 1 / 2 ⋅ a 1 / 2 = a y que a ⋅ a = a , por lo tanto podemos concluir que
a1 / 2 = 2 a1 = a

( )

m

Logaritmos
Considera la expresión b L = N donde b es un número positivo ≠ 1 y N es un número positivo. Esa es una ecuación exponencial que puede expresarse en términos de logaritmos como L = log b N , y se lee “el logaritmo en base b del número N es elexponente L .” En general, trataremos con los logaritmos comunes que tienen como base el número 10. El símbolo log lleva implícito una base 10, así que siempre que la base no sea explícita, estaremos lidiando con un logaritmo común. Observa que si la base es 10, el número N siempre será positivo y que, consecuentemente, no existe el logaritmo de un número negativo ni de cero. Por otro lado, el logaritmo Lpuede ser cualquier número real positivo, negativo o cero.

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Leyes de los logaritmos Como los logaritmos son exponentes, las leyes de los primeros surgen de las de los últimos.

•
•

log( A ⋅ B ) = log A + log B

⎛ A⎞ log⎜ ⎟ = log A − log B ⎝B⎠ log A n = n log A

•

Para demostrar estas leyes considera losiguiente: A = 10 a y B = 10 b , entonces log A = a y log B = b . Para la primera ley tenemos A ⋅ B = 10 a ⋅ 10 b = 10 a +b . La expresión logarítmica es log( A ⋅ B ) = a + b , y sustituyendo para a y b tenemos log( A ⋅ B ) = log A + log B .
a ⎛ A ⎞ 10 En el caso de la segunda ley partimos de que ⎜ ⎟ = b = 10 a −b . ⎝ B ⎠ 10 ⎛ A⎞ En términos de logaritmos tenemos log⎜ ⎟ = a − b , y sustituyendo...