Matematica

Resumen
 Una de las ideas básicas en Cálculo Matemático es el concepto de Derivada. Para introducir dicho concepto se recurre generalmente a dos problemas: uno Físico , para calcular la velocidad instantánea de un móvil, y otro Geométrico, para determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera de ella. Los dos problemas conducen al mismo cálculo: el límite de uncociente de incrementos cuando el denominador tiende a cero. Puesto que, muchos problemas importantes dependen de la determinación de la recta tangente la gráfica de una función en un punto específico, a continuación se introduce el concepto analítico de la pendiente de recta tangente a una función en un punto y luego el concepto de derivada de una función, derivadas laterales, teoremas sobrederivadas, derivación implícita, derivadas de orden superior, etc.

DERIVADAS
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "anti derivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticasprevias, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudiosde Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero,es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o unpunto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación

Pendiente de una Recta Tangente
            Sea f una función que es continua en Para definir la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto  consideremos un intervalo abierto I que contienea  Sea  otro punto sobre la gráfica de f tal que  esté contenido en I. La recta que pase por los puntos P y Q se denomina recta secante.

            Observe que es el cambio del valor x de  a llamado incremento de x, y es el cambio del valor de de a llamado incremento de y.
            La pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q de la curva de la figura 3.1, está determinada por:            Como  la pendiente puede escribirse así:

            Consideremos ahora el punto P como un punto fijo, y que el punto Q se mueve a lo largo de la curva hacia P. Esto es igual a decir que  tiende a cero. Si esto sucede la recta secante gira sobre el punto P hasta convertirse en una recta tangente a la curva en el punto P, por lo tanto, la pendiente de la recta tangente en dichopunto puede ser calculada mediante la siguiente ecuación:

" La notación nos indica que la pendiente que calculemos con la ecuación (A) es la de la recta tangente a la gráfica de la función  en el punto " .
Ejercicios resueltos 1.
1.1) Calcule la pendiente de la recta tangente a la parábola  en el punto
Solución:
            Es evidente que por lo tanto, aplicando la ecuación (A) tenemos:...