Matematica

TEMA 4. Geometría, cinemática y dinámica

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Índice: Geometría, cinemática y dinámica
• Geometría
– Coordenadas propias y del mundo – Representación de la posición.
• Tipos de coordenadas

– Matrices de rotación – Representación de la orientación del elemento final
• Ángulos de Euler y RPY

– Matrices de transformación homogéneas

• Cinemática
– Problema cinemático directo einverso

• Dinámica
– Ecuaciones de Newton-Euler – Ecuaciones de Lagrange-Euler
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Coordenadas propias y del mundo
• • Coordenadas propias (del cuerpo)
– Indican la posición y orientación del extremo final del robot.

Coordenadas del mundo
– Posición y orientación del extremo final del robot respecto a un sistema de coordenadas homogéneas. Normalmente, fijamos el centro en la base delrobot.

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Representación de la posición (I)
• Vamos a representar la posición en un espacio tridimensional • Veremos 3 tipos de representación
– Coordenadas cartesianas – Coordenadas cilíndricas – Coordenadas esféricas

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Representación de la posición (II)
• Coordenadas cartesianas
– Utilizamos el sistema de referencia OXYZ – Definimos la posición mediante el vector p(x,y,z)
• xexpresa la proyección del vector p sobre el eje OX. • y expresa la proyección del vector p sobre el eje OY. • z expresa la proyección del vector p sobre el eje OZ.

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Representación de la posición (III)
• Coordenadas cilíndricas
– Utilizamos el sistema de referencia OXYZ – Definimos la posición mediante el vector p(r,θ,z)
• r es la distancia desde el origen O hasta el extremo del vector p.• θ es el ángulo formado por la proyección del vector p sobre el plano OXY con el eje OX. • z expresa la proyección del vector p sobre el eje OZ.

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Representación de la posición (IV)
• Coordenadas esféricas
– Utilizamos el sistema de referencia OXYZ – Definimos la posición mediante el vector p(r,θ,Ф)
• r es la distancia desde el origen O hasta el extremo del vector p. • θ es el ánguloformado por la proyección del vector p sobre el plano OXY con el eje OX. • Ф es el ángulo formado por el vector p con el eje OZ.

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Matrices de rotación: 2D

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Matrices de rotación: 3D (I)

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Matrices de rotación: 3D (II)

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Composición de rotaciones
• Podemos multiplicar las matrices de rotación básicas entre sí para representar una secuencia de rotación finitarespecto del eje principal del sistema de coordenadas OXYZ
– La multiplicación de matrices no es conmutativa – Importante el orden de realización de las rotaciones

• También podemos encadenar rotaciones básicas respecto a los ejes principales de los sistemas de coordenadas obtenidos después de una rotación
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Composición de rotaciones: Ejemplo
• Orden de composición (respecto de OXYZ)
1. 2.3. Rotación de ángulo α respecto del eje OX Rotación de ángulo θ respecto del eje OZ Rotación de ángulo Φ respecto del eje OY

(Sustituimos Sin y Cos por S y C, respectivamente)

 Cφ 0 Sφ  Cθ − Sθ 0 1 0 1 0   Sθ C θ 0   0 C α R = R y ,φ R z ,θ R x,α =  0    − Sφ 0 Cφ   0 0 1   0 Sα     CφCθ SφSα − CφSθCα CφSθSα + SφCα   =  Sθ − CθSα CθCα   − SφCθ SφSθCα + CφSαCφCα − SφSθSα   

0  − Sα  =  Cα  

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Orientación del elemento terminal (I)
• Un punto queda definido en el espacio a través de su posición • Para un sólido necesitamos definir además cual es la orientación • Hay varias formas de definir la orientación siendo las más usuales:
– Ángulos de Euler – Ángulos RPY
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Orientación del elemento terminal (II)
• Ángulos de Euler ZXZ
–– – Es una de las representaciones más habituales. Se suele asociar con los movimientos básicos de un giroscopio. Si se parte de los sistemas OXYZ y OUVW, inicialmente coincidentes, podemos colocar al sistema OUVW en cualquier orientación siguiendo los siguientes pasos (en orden):
1. Girar el sistema OUVW un ángulo Φ con respecto al eje OZ, convirtiéndose en el OU´V´W´. Girar el sistema...