Matematica

La capitalización continua - Operación de descuento
Patricia Kisbye
Profesorado en Matemática Facultad de Matemática, Astronomía y Física

2009

Patricia Kisbye (FaMAF)

2009

1 / 14Capitalización continua

Dado un período de tiempo, se han definido las siguientes tasas: Tasa de interés efectiva en el período: i(t). Tasa de interés efectiva en un subperíodo: i (m) (t) Tasa deinterés nominal con capitalización en el superíodo: j (m) (t) Se cumplen las siguientes relaciones: (1 + i (m) (t))m = 1 + i j (m) (t) = m · i (m) (t)

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Tasanominal instantánea

Dado un período de tiempo, asumamos que se conocen j (1) (t), j (2) (t), j (3) (t), . . . , j (m) (t), . . . Definición Se llama tasa de interés nominal instantánea, o tasanominal con capitalización continua al límite r (t) = lim j (m) (t)
t→∞

siempre que este límite exista.

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Tasa nominal instantánea

Ejemplo Sea i =0.08 la tasa efectiva anual. Entonces i (m) (t) = 1.081/m − 1, por lo cual j (m) (t) = m · (1.081/m − 1). En este caso, la tasa nominal instantánea viene dada por r (t) = r = log(1.08).

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La tasa i(t)

Asumiendo que r (t) y j (m) (t) son conocidas para todo m, dado un capital C(t) se tiene que C(t + 1/m) − C(t) = m · C(t) · j (m) (t). Por lo tanto,m→∞

lim

C(t + 1/m) − C(t) = lim C(t) · j (m) (t). t→∞ 1/m

es decir d C(t) = C(t) · r (t). dt

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Ecuación diferencial para r (t)
Considerando unintervalo de tiempo [t0 , t], se tiene que C (t) = r (t), C(t) por lo cual
t

log C(t) − log C(t0 ) =
t0

r (s) ds.

Usando propiedades del logaritmo se obtiene que:
t

C(t) = C(t0 ) · exp
t0r (s) ds = C(t0 ) · e

Rt
t0

r (s)

ds.

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La tasa de interés instantánea

Sea r (t) = r la tasa nominal instantánea, constante. Se tiene...