Matematica

Telescopio Hubble. Trayectoria prevista para atravesar los anillos de Saturno.
Fuente: http://hubblesite.org

En 1995 los astrónomos encargados del telescopio Hubble anunciaron el descubrimiento de al menos dos nuevas lunas orbitando el gigante Saturno, basado en las imágenes tomadas por este telescopio. Estos satélites tienen órbitas elípticas similares a Atlas y Prometeus (lunas descubiertasen 1980 por el Voyager). Tal y como se observa en el gráfico, la trayectoria del Hubble y los anillos de Saturno tienen su intersección en un punto. Esto puede expresarse analiticamente mediante un sistema ecuaciones.

Ecuaciones lineales con dos incógnitas
Si en una taza con capacidad de 250 cm3 queremos preparar café con leche, debemos agregar un volumen C de café y un volumen L de leche.De esta manera, tenemos que: C + L = 250 Dependiendo del gusto de las personas se podrá agregar una cantidad mayor de café y una menor de leche o viceversa (en este caso 0 < C < 250 y 0 < L < 250). Observa que tanto C como L son variables y una ecuación como la considerada se denomina ecuación lineal con dos incógnitas. De manera más general una ecuación lineal con dos incógnitas, con coeficientesreales, es una igualdad de la forma: ax + by = c en donde a, b y c son números reales, tanto en el ejemplo de la preparación del café con leche, donde hay infinitas formas de prepararlo, pues depende de las cantidades de café y leche que agreguen, sin sobrepasar la capacidad de la taza, como en el caso general, una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.
y

Representacióngráfica Las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas, ax + by = c, es el conjunto de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.La gráfica es una recta. Por ejemplo, la gráfica de la ecuación 3y - 2x = 4 es la ecuación de una recta que corta al eje x en el punto A (-2, 0) y al eje y en el punto B (0, 4 ). Estos puntos, y 3 cualquier otro perteneciente a la recta,son soluciones de la ecuación dada.
y Leche (cm3) 250 A -2 -1 B

2

1

0

1

2 x

-1

-2 200

100

0 100 200

x 250

La representación gráfica de nuestra situación con el café es la que está a la izquierda.
Café (cm3)

Reto: ¿Qué significa C=0 y qué significa L=0?

58

Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 8

50 m x 50-xLado a

Supongamos que dos nadadores están ubicados en los lados opuestos a y b de una piscina cuya longitud es 50 m. Si salen simultáneamente uno hacia el otro, nadando con rapidez constante por carriles paralelos, el primero a 6 m/s y el segundo a 5 m/s. ¿A qué distancia se cruzan los nadadores? Observa que si ambos nadadores se cruzan al cabo de t segundos, a una distancia de x metros del ladoa, mientras el primero ha recorrido x metros el segundo ha recorrido 50 - x metros, y se pueden escribir las ecuaciones: x = 6t 50 - x = 5t Se dice que dos ecuaciones como las anteriores constituyen un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de ecuaciones del tipo: Cada una de estas a 1x + b 1y = c 1ecuaciones corresponde a la ecuación de una a 2x + b 2y = c 2
recta en el plano.

Una solución común de estas ecuaciones, si existe, es un par de números reales (x0,y0) tal que: a 1x 0 + b 1y 0 = c 1 a 2x 0 + b 2y 0 = c 2 Gráficamente, una solución del sistema es un punto común a ambas rectas. Dadas dos rectas en el plano hay las siguientes posibilidades:
Las dos rectas tienen un punto común
yLado b x

en donde a1, b1, c1, a2, b2 y c2, son números reales. En cada una de las ecuaciones, por lo menos uno de los coeficientes de las incógnitas es diferente de 0.

Las dos rectas coinciden
y

Las dos rectas son paralelas no coincidentes
y

O

O

x

O

x

El sistema tiene solución única: el punto (x0 ,y0). Se dice que el sistema es compatible determinado.

El sistema...