matematica




SISTEMAS DE ECUACIONES


Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.

La solución de un sistema es un par de números x1, y1 , tales que sustituyendo x por x1 e y por y1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.
Los sistemas de ecuaciones, lo podemos clasificar, según el esquema siguiente:





Unsistema de ecuaciones es compatible cuando tiene solución, y será un sistema compatible determinado cuando tiene solución única. Por ejemplo, el sistema tiene una sola solución:
x = 2, y = 3, tiene una sola solución.
Gráficamente la solución es el punto de corte de las dos rectas.




Un sistema de ecuaciones es compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones. Por ejemplo,Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución.






Un sistema de ecuaciones es incompatible cuando no tiene solución. Por ejemplo, la siguiente ecuación,

no tiene solución. Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas.



Un sistema de ecuaciones es homogéneo cuando todos sus términos independientes son cero. Por ejemplo,



MÉTODO DERESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIÓN.

Para la resolver un de sistemas de ecuaciones existen diversos métodos que permiten la resolución de sistemas de ecuaciones de nxn ( n ecuaciones, n incógnitas). En este caso, abordaremos los métodos más sencillos para la resolución de un sistema de ecuaciones de solamente dos ecuaciones con dos incógnitas; podemos utilizar, entre otros, uno de los siguientesmétodos:

1. Sustitución
2. Igualación
3. Reducción


MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Sea el sistema



Primero despegamos el valor de una de las incógnitas. Por ejemplo, la y en la primera ecuación suponiendo conocido el valor de x,

y=11-3x

Se sustituye en la otra ecuación el valor obtenido,

5x-(11-3x)=13

Se obtiene una ecuación con una sola incógnita y la resolvemos

5x-11+3y=13== 5x+3x=13+11 == 8=24 == x=3
Ya conocido el valor de x, se sustituye en la expresión del valor de y que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema

y=11-3x == y=11-9 == y=2

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será

x=3 e y=2

otro ejemplo:



Despejando una de las incógnitas (x) en una de las ecuaciones (la primera), se obtiene:Sustituyo la expresión obtenida en la otra ecuación:



Se resuelve la ecuación obtenida:


Se sustituye la incógnita hallada en la primera expresión donde se despejó x:




MÉTODO DE IGUALACIÓN

Sea el sistema



Lo primero es despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita



Luego se igualan ambas ecuaciones

11-3x=-13+5x == 8x=24 == x=3

Este valor de x losustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y

y=11-9 == y=2 
 

Otro ejemplo:



Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones:



Se igualan los segundos miembros:



Resolviendo la ecuación:

= =
=

Se sustituye el valor obtenido en una de las despejadas:





MÉTODO DE REDUCCIÓN

Sea el sistema



Sumamos miembro a miembro lasdos ecuaciones que componen el sistema



8x=24 == x=3

sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos

y=2


otro ejemplo:



Se igualan los coeficientes de una incógnita pero tienen que ser opuestos, para ello se multiplican las ecuaciones por el número adecuado ( en este caso por -3):



Se suman las dos ecuaciones para eliminar la incógnita decoeficientes iguales:



___


Se resuelve la ecuación que resulta:



Se sustituye el valor obtenido en una de las despejadas anteriormente:

























PROBLEMAS (Sistemas de ecuaciones)



SOLUCIÓN: Y=7 , X=4


SOLUCIÓN: Y=2, X=3


SOLUCIÓN: X=4, Y=-9


SOLUCIÓN: X=4, Y=13


SOLUCIÓN: X=-2, Y=2


SOLUCIÓN:...