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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Se llama sistema de ecuaciones lineales, a una relación de varias variables, en la cual cada variable es lineal.
El ejemplo más simple es el de un sistema de dos variables y dos relaciones

; En la cual su solución, está basada en sumar ambas relaciones
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5x = 10 , de donde despejando x = 5, luego se reemplaza estevalor en
Cualquier relación y se obtiene el valor de (y).
3(5) – y = 2 luego: 15 – y = 2 , finalmente y = 13.

Para un sistema de tres variables y tres relaciones, se enseño a reducir el sistema a uno de 2 variables y 2 relaciones. Ejemplo:

su solución se basa en reducir el sistema a otro de 2 .

Por ejemplo si ( 5 x – z = 8 …..(
Y si sumamos (7x + 5z = 16 …..(
En ambos casos se buscó eliminar la misma variable (y), para reducir el sistema a otro de 2 variables, en la cual para su solución se procede igual al primer ejemplo.

Si bien es cierto es la forma como se enseña en los colegios, pero faltó especificar que todo sistema tiene la posibilidad de tener solución o no tenerla.
En general se enseña con la certeza de que todos lossistemas tienen solución, y si se tiene un sistema de 8 ó 12 variables; el método se vuelve muy laborioso y siempre con la certeza de que encontrará una única solución, lo cual no es cierto.


REGLA DE CRAMER:

Esta regla buscar solucionar el mismo problema pero transformando el sistema de relaciones entre variables a otro de forma matricialeste sistema en su forma matricial A .B = C



Para nuestro ejemplo A = Matriz de coeficientes
B = Matriz de variables
C = Matriz de escalares

1.- Se halla el determinante de la matriz de coeficientes
3(3 + 3) +1(6 +12) + 2(2-4) = 18 + 18 – 4 = 32.

Cuando el determinante es diferentea cero se dice que la matriz es no singular, de ser cero; se llama a la matriz singular, para esta regla la matriz debe ser no singular.
2.- se reemplaza la matriz de escalares en la primera columna y se halla el determinante.
= 1(24 +48) + 2(8 – 16) = 72 – 16 = 56

3.- se reemplaza la matriz de escalares en la segunda columna y se halla el determinante.
= 3(24 + 48) + 2(32-32) = 2164.- se reemplaza la matriz de escalares en la primera columna y se halla el determinante.
= 3(16 – 8) + 1(32 -32) = 24

5.- La solución se encuentra dividiendo cada determinante entre el determinante de la matriz.

X = = ; Y = = ; Z = =


El método es bueno en el sentido, de no ir por el método convencional de eliminar variables y siempre que el número de variables sea igual alnúmero de relaciones, además de ser la matriz de coeficientes no singular (determinante diferente de cero)
Pero, un sistema no siempre tiene por lo general igual el número de variables y el número de relaciones.
Ejemplo: 3x - 2y = 2
Es un sistema lineal con dos variables, en el cual solo hay una relación, pero la regla anterior no es aplicable, por lo que se requiere de un análisis paradeterminar si tiene o no solución, y si tiene solución observar si esta solución es única o existen infinitas soluciones.
En general para todo sistema de ecuaciones lineales, que tengan igual número de variables y relaciones, ó no lo tengan; debe usarse un método general.
Existen dos tipos de sistemas en general:

Sistema Homogéneo ; la matriz de escalares es nula.

Sistema no Homogéneo , lamatriz de escalares es no nula.

Note que el sistema puede tener infinitas variables y también infinitas relaciones, en este caso se ha señalado solo 3 relaciones, pero lo importante no es si el sistema tiene infinitas o finitas variables; tampoco si tiene infinitas o finitas relaciones, lo importante son los valores que conforman la matriz de escalares que puede ser nula o no.
¿Por qué esta...