matematica
Semestre 1-2011
TEMA 5
SERIES
NUMÉRICAS
Semestre
1-2011
José Luis Quintero
Julio 2011
Departamento de
Matemática Aplicada
U.C.V.
F.I.U.C.V.
CÁLCULO II (0252)
Prof.
José Luis Quintero
Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al
estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de series numéricas.
Laguía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de
repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y
propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores,
también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo
más didáctico posible y se espera prestar unapoyo a la enseñanza del Cálculo II en
Ingeniería.
Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora
del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo:
quinterodavila@hotmail.com.
INDICE GENERAL
U.C.V.
F.I.U.C.V.
CÁLCULO II (0252)
Departamento de
Matemática Aplicada
Prof.
José Luis Quintero
TEMA 5. SERIESNUMÉRICAS
5.1.
Sucesiones
211
5.2.
Serie infinita
215
5.3.
Serie geométrica
218
5.4.
Serie telescópica
219
5.5.
Criterio de la integral
221
5.6.
Serie alterna
223
5.7.
Convergencia absoluta y convergencia condicional
224
5.8.
Criterios de comparación
226
5.9.
Criterio de la razón
229
5.10. Criterio de la raíz
2315.11. Problemas propuestos
233
G
Series Numéricas
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SUCESIONES
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José Luis Quintero
CÁLCULO II (0252) – TEMA 5
5.1. SUCESIONES
La importancia en el Cálculo de las sucesiones y series infinitas surge de la idea de
Newton de representar las funciones como sumas de series infinitas. Por ejemplo, al
determinar áreas, a menudointegraba una función expresándola primero como una serie y
después integrando cada término de la serie.
Muchas de estas funciones que surgen en la física matemática y en la química, como
las funciones de Bessel, se definen como sumas de series, por lo tanto, resulta importante
familiarizarse con los conceptos básicos de convergencia de sucesiones y series infinitas.
Definición 1. Una sucesión esuna función cuyo dominio es el conjunto {1, 2,3,4,...,n,...} de
todos los números enteros positivos.
Los números del contradominio de una sucesión se denominan elementos. Una
sucesión consiste de los elementos de una función sucesión listados en orden.
Ejemplo 1. Sea f la sucesión definida por
n
f(n) =
, n = 1,2,3,... .
2n + 1
Se tiene que f es una sucesión y
f(1) = 1 , f(2) = 2 , f(3)=
3
5
3
7
, f(4) =
(1)
4
9
, f(5) =
y así sucesivamente. Los elementos de la sucesión definida por f son
1
3
5
11
,
2
5
,
3
7
,
4
9
,
5
,
11
etc ; y
la sucesión es la (1).
Puesto que el dominio de cada sucesión es el mismo, puede emplearse la notación
{f(n)} para denotar una sucesión. Así, la sucesión (1) puede denotarse por {n /(2n + 1)} .
También se utiliza la notación de subíndice {an} para expresar una sucesión para la cual
f(n) = an .
Definición 2. Una sucesión {an } tiene límite L si para cualquier ε > 0 existe un número
N > 0 tal que si n es un número entero y si n > N entonces an − L < ε y se escribe
lím an = L .
n → +∞
SUCESIONES
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CÁLCULO II (0252) – TEMA 5
SeriesNuméricas
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Prof.
José Luis Quintero
Ejemplo 2. Siendo
an =
1
n2
,
se tiene que
lím
n → +∞
1
n2
=0
por lo tanto se tiene que la sucesión es convergente.
Ejemplo 3.
10n
= +∞
n → +∞ n
lím
por lo tanto la sucesión
10n
n
diverge.
Ejemplo 4.
lím sen(n)
n → +∞
no existe por lo tanto la sucesión
{sen(n)}...
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