Matematica

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Capítulo

1

SISTEMA DE COORDENADAS
Demostrar que los puntos A = (0,1) y B = (3,5) ; C = (7,2) y D = (4,−2) son los vértices de un cuadrado. Solución:
! ! ! ! AB = BC = AD = CD = 9 + 16 = 25 = 5 16 + 9 = 25 = 5 9 + 16 = 25 = 5 16 + 9 = 25 = 5 AB = BC = AD = CD = 5 LQQD

Como :

ˆ

ABCD es un cuadrado.

1

Capítulo 1. SISTEMA DECOORDENADAS

Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A = (−1,1) y
B = (3,1) . Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos).

Solución:
Sea C = (x,y ) el tercer vértice. ! ! = ! ! BC = AC

(x − 3)2 + (y − 1)2

=  →

(x + 1)2 + (y − 1)2 (x − 3)2 + (y − 1)2

"

BC = AB = 16  →

!

De

" y !:

  

x =1 y = 1± 2 3

ˆ

C = 1,1 ± 2 3

(

)Dados los puntos P1 = (2,−3) y P2 = (−1,2) encontrar sobre P1 P2 el punto que diste doble de P1 que P2 . Solución:
Sea P = (x,y ) el punto pedido. ! r= PP1 P2P = 2 =2 1

!

x + r x 2 2 + 2(− 1) = = x= 1 1+ r 1+ 2 = 2−2 0 = =0 3 3 ! x=0

2

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

! y=

y1 + r y 2 − 3 + 2 (2) − 3 + 4 1 = = = 1+ r 1+ 2 3 3  1 P = (x, y ) =  0,   3

!

y=

13

ˆ

El lado de un rombo es igual a 5 10 y dos de sus vértices opuestos son los puntos P = (4,9 ) y Q = (− 2,1) . Calcular el área de este rombo. Solución:
PQ = 36 + 64 = 100 = 10

!

x 2 = 5 10

(

)2 − 5 2 = 250 − 25
!

!

x 2 = 225

!

x = 15

Luego : : A = D × d 30 × 10 = = 150 2 2 A = 150 m 2

3

Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS

Determinar las coordenadasde los extremos A y B del segmento que es dividido en tres partes iguales por los puntos P = (2,2) y Q = (1,5 ) . Solución:
! Cálculo de A = (x 1 ,y 1 ) : ! r=        AP PQ 2= =1 1 + x1 2

!

x1 = 3 y 1 = −1

!

y +5 2= 1 2 A = (3, − 1)

!

ˆ
Cálculo de B = (x 2 ,y 2 ) :        1= 5= 2 + x2 2 2 + y2 2

!

!

! r=

PQ QB

x2 = 0 y2 = 8

=1 !

!

ˆ

B =(0,8 )

La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto
M = (3, − 2 ) ; la proyección sobre el eje de abscisas es igual a −12 . Hallar

las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de ordenadas un ángulo dado.

4

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

Solución:
! Si ! Si AB = −12 ! x − 3 = −12 MN = 13 ! ! x = −9 = 13 ! y = −7

(x − 3 )2 +(y + 2)2

ˆ

N = (x, y ) = (− 9, − 7 )

Tres de los vértices de un paralelogramo son A = (− 1,4 ) , B = (1, − 1) y
C = (6,1) . Si la ordenada del cuarto vértice es 6. ¿Cuál es su abscisa?

Solución:

Sea D = ( x ,6) el punto pedido. ! AD = BC !

(x + 1)2 + (6 − 4) 2

=

(6 − 1)2 + (1 + 1)2
5

Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS

Efectuando operaciones: ! x 2 + 2x − 24 = 0 !     x1 = 4 x 2 = −6

Luego : ! D = ( x ,6 ) ! D = (4,6 )

El punto medio de cierto segmento es el punto M = (− 1,2 ) y uno de sus extremos es el punto N = (2,5 ) . Hallar las coordenadas del otro extremo. Solución:
Sea P = (x, y ) el punto pedido. ! ! xM = yM = x + xN 2 y + yN 2 ! −1 = ! 2= x+2 ! x = −4 2 y+5 2 ! y = −1

ˆ

P = (x, y ) = (− 4, − 1)

Los vértices de un triángulo ABCson A = (2, − 1) , B = (− 4,7 ) y C = (8,0 ) . Calcular las coordenadas del baricentro de dicho triángulo. Solución:
Sabemos que :

6

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

!

x + x 2 + x3 x= 1 3 y + y 2 + y3 y= 1 3

! x=

2−4+8 3

! x=

6 =2 3

!

! y=

− 1+ 7 + 0 6 ! y= =2 3 3

ˆ

G = (x, y ) = (2,2)

¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une lospuntos
A = (1, − 1) y B = (4,5 ) en la dirección AB, para que su longitud se triplique?

Solución:
Sea P = (x, y ) el punto pedido. ! Sabemos : AB BP = 1 2 ! BP = 2 AB

7

Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS

!

(x − 4 )2 + (y − 5 )2

=2

(4 − 1)2 + (5 + 1)2

Efectuando operaciones : ! ! x 2 + y 2 − 8x − 10y − 139 = 0 AB + BP = AP =  →

"

También : !

(4 − 1)2 + (5 + 1)2...