Matematica

Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

Diferencia

d = an - an-1

Término general de una progresión aritmética

an = a1 + (n - 1) · d

an = ak + (n - k) · d

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica esuna sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
[pic]

Término general de una progresión geométrica

an = a1 · rn-1
an = ak · rn-k

Ejercicios

El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión.
a 4 = 10;          a 6 = 16
 a n = a k + (n - k) · d
16 = 10 + (6 - 4)d;        d= 3
a1= a4 - 3d;
a1 = 10 - 9 = 1
1, 4, 7, 10, 13, ...

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
[pic]
8,    3, -2, -7 ,    -12.

El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.
a 1 = − 1;          a 15 = 27;      
a n = a 1 + (n - 1) · d
27= -1 + (15-1) d;       28 = 14d;         d = 2
S=(-1 + 27) 15/2 = 195

Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.
360= ( a1 + a4) · 4/2
a4= a1 + 3 · 25
360= ( a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2
a1 = 105/2 = 52º 30'      a2 = 77º 30'
a3 = 102º 30'                a4 = 127º 30'

El cateto menor de un triángulo rectángulo mide8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.
a2 = 8 + d;            a3 = 8 + 2d
(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64
d = 8
8, 16, 24.

Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 311/2.
Término central [pic]x
1º [pic]x - d
3º [pic]x + d.
x − d + x + x + d = 27
x = 9
(9 − d)2 + 81 + (9 + d)2= 511 / 2
d = ± 5 / 2
13 / 2, 9, 23/2
23 / 2, 9, 13/2

El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progesión.
a2= 6;                 a5= 48;        
 an = ak · r n-k
48 = 6 r5-2 ;          r3 = 8;                r = 2.
a1= a2 / r; a1= 6/2= 3
3, 6, 12, 24, 48, ...

El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y lasuma y el producto de los 8 primeros términos.
a 1 = 3;                 a 8 = 384;   
   [pic]              [pic]           [pic]
384 = 3 · r8-1 ;       r7 = 128;        r7 = 27;      r= 2.
S8 = (384 · 2 - 3 ) / (2 − 1) = 765
[pic]
Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
a = 3;        b = 48;        
  [pic]
[pic]
3,     6, 12, 24,    48

Juan ha comprado 20 libros, por el 1º hapagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y aí sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros.
a1= 1       r= 2;         n = 20;        [pic]
S= (1 · 220-1 - 1) / (2 - 1) = 1048575 € .
Una sucesión es un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.
a1, a2, a3 ,..., an
Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugarque el término ocupa en la sucesión.
El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Determinación de una sucesión:

Por el término general

an= 2n-1

Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

Sucesión de Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,...
Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.
[pic]

Sucesiones estrictamente crecientes

an+1 > an

Sucesiones crecientes

an+1 ≥ an

Sucesiones estrictamente decrecientes

an+1 < an

Sucesiones decrecientes

an+1 ≤ an

Sucesiones constantes

an= k

Sucesiones acotadas inferiormente

an ≥ k

Sucesiones...