matematica
Páginas: 10 (2292 palabras)
Publicado: 13 de abril de 2013
CAPITULO 3: APLICACIONES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA
3.1. CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UNA CURVA.
Sí una función es continua en el intervalo cerrado , la longitud de esta curva desde el punto hasta el punto , se calcula con las siguientes fórmulas (según sea la circunstancia):
Primera Fórmula.- longitud = , si se considera y dependiendo de x.Segunda Fórmula.- longitud = , si se considera x dependiendo de y.
Tercera Fórmula.- longitud = , si la función está dada en forma paramétrica.
Ejemplo 01. Calcular la longitud de la curva , desde hasta .
Consideremos y dependiendo de x, para usar la primera fórmula:
Longitud =
Longitud =
=
=
=
=
=
=
Ejemplo02. Hallar la longitud del arco de la línea desde hasta .
Usando la primera fórmula, se tiene:
Longitud =
=
=
=
=
=
=
=
=
Ejemplo 03. Calcular la longitud del arco de la parábola semicúbica comprendida dentro de la parábola .
Igualamos las dos curvas, para calcular los puntos de Intersección.De donde .
Si , entonces . En consecuencia los puntos de intersección de estas dos curvas son: .
Por otro lado derivando la parábola semicúbica, se tiene:
Elevando al cuadrado esta igualdad, se sigue:
De donde:
Longitud = 2
=
=
Ejemplo 04. Calcular la longitud del arco de laparábola semicúbica comprendida dentro de la circunferencia .
Reemplazando el de la parábola semicúbica en la circunferencia, se tiene:
De donde:
Si , . En consecuencia, los puntos de intersección de estas curvas son: .
Por otro lado derivando la parábola semicúbica respecto de y, se tiene:
Elevando esta igualdad al cuadrado, se sigue:
Dedonde:
Aplicando la segunda fórmula, se sigue:
Longitud = 2
=
=
=
Ejemplo 05. Hallar la longitud del lazo de la línea: , .
Usaremos la Tercera fórmula, porque la función viene dada en forma paramétrica. Además, el lazo se da cuando . Es decir, cuando: . Con esta igualdad sedeterminan los límites de integración; los que resultan ser: . En consecuencia:
Longitud =
=
=
=
=
=
=
=
Ejemplo 06. La posición de un punto en el instante t viene dado por . Hallar el espacio recorrido por el punto desde hasta
Como la función está dada en forma paramétrica, se usará la Tercera Fórmula. Es decir:
Longitud ==
=
=
=
=
=
3.2. CALCULO DEL AREA DE UNA REGION PLANA.
Ejemplo 01. Calcular el área de la figura limitada por la parábola y el eje de las abscisas.
Recomendación 01. Para el cálculo de áreas limitadas por curvas, se recomienda realizar una gráfica de la región por calcular, a partir de allí se determina el modelo aseguir. Veamos el gráfico de la figura.
Si el área por calcular se encuentra por encima del eje X, esta es positiva y se calcula de la siguiente manera:
Área =
=
=
=
Ejemplo 02. Hallar el área de la figura limitada por la curva y el eje OX.
La gráfica de la figura es:
El área que se encuentrapor encima del eje X es positiva y se calcula como el caso anterior; pero el área que se encuentra debajo del eje X es negativa y se calcula de la siguiente manera:
Area =
=
=
=
Procediendo como en el ejemplo 01, anterior, para el área que está por encima del eje X, se tiene:
Área =
=
=
= . En consecuencia,...
CAPITULO 3: APLICACIONES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA
3.1. CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UNA CURVA.
Sí una función es continua en el intervalo cerrado , la longitud de esta curva desde el punto hasta el punto , se calcula con las siguientes fórmulas (según sea la circunstancia):
Primera Fórmula.- longitud = , si se considera y dependiendo de x.Segunda Fórmula.- longitud = , si se considera x dependiendo de y.
Tercera Fórmula.- longitud = , si la función está dada en forma paramétrica.
Ejemplo 01. Calcular la longitud de la curva , desde hasta .
Consideremos y dependiendo de x, para usar la primera fórmula:
Longitud =
Longitud =
=
=
=
=
=
=
Ejemplo02. Hallar la longitud del arco de la línea desde hasta .
Usando la primera fórmula, se tiene:
Longitud =
=
=
=
=
=
=
=
=
Ejemplo 03. Calcular la longitud del arco de la parábola semicúbica comprendida dentro de la parábola .
Igualamos las dos curvas, para calcular los puntos de Intersección.De donde .
Si , entonces . En consecuencia los puntos de intersección de estas dos curvas son: .
Por otro lado derivando la parábola semicúbica, se tiene:
Elevando al cuadrado esta igualdad, se sigue:
De donde:
Longitud = 2
=
=
Ejemplo 04. Calcular la longitud del arco de laparábola semicúbica comprendida dentro de la circunferencia .
Reemplazando el de la parábola semicúbica en la circunferencia, se tiene:
De donde:
Si , . En consecuencia, los puntos de intersección de estas curvas son: .
Por otro lado derivando la parábola semicúbica respecto de y, se tiene:
Elevando esta igualdad al cuadrado, se sigue:
Dedonde:
Aplicando la segunda fórmula, se sigue:
Longitud = 2
=
=
=
Ejemplo 05. Hallar la longitud del lazo de la línea: , .
Usaremos la Tercera fórmula, porque la función viene dada en forma paramétrica. Además, el lazo se da cuando . Es decir, cuando: . Con esta igualdad sedeterminan los límites de integración; los que resultan ser: . En consecuencia:
Longitud =
=
=
=
=
=
=
=
Ejemplo 06. La posición de un punto en el instante t viene dado por . Hallar el espacio recorrido por el punto desde hasta
Como la función está dada en forma paramétrica, se usará la Tercera Fórmula. Es decir:
Longitud ==
=
=
=
=
=
3.2. CALCULO DEL AREA DE UNA REGION PLANA.
Ejemplo 01. Calcular el área de la figura limitada por la parábola y el eje de las abscisas.
Recomendación 01. Para el cálculo de áreas limitadas por curvas, se recomienda realizar una gráfica de la región por calcular, a partir de allí se determina el modelo aseguir. Veamos el gráfico de la figura.
Si el área por calcular se encuentra por encima del eje X, esta es positiva y se calcula de la siguiente manera:
Área =
=
=
=
Ejemplo 02. Hallar el área de la figura limitada por la curva y el eje OX.
La gráfica de la figura es:
El área que se encuentrapor encima del eje X es positiva y se calcula como el caso anterior; pero el área que se encuentra debajo del eje X es negativa y se calcula de la siguiente manera:
Area =
=
=
=
Procediendo como en el ejemplo 01, anterior, para el área que está por encima del eje X, se tiene:
Área =
=
=
= . En consecuencia,...
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