matematica

Cuaterniones

Un tema de Teoría de Números

El Equipo
Resumen
Este artículo comienza con una revisión breve de dos álgebras: el Algebra de los números
reales y el Álgebra de los números complejos. Ello es necesario para abordar, de manera
sintética, los números cuaterniones. Se trata de una extensión de los números complejos.
Puesto que, según el Teorema Fundamental del Álgebra, elcuerpo de los números complejos
es algebraicamente cerrado estos En fin, son nuevos números que no dejan de asombrarnos.
Así como los números reales llenan completamente la recta numérica y los números reales lo
hacen con el plano, éstos requieren de espacios con dimensión n > 3. Admiten distintas
representaciones. Se presentan algunas operaciones. También se señalan diversas
aplicaciones.Palabras clave: cuaterniones, números hipercomplejos, extensión de los números complejos.

Revista Nº 21 – octubre 2010 – Sección Temas de Matemática.
www.mendomatica.mendoza.edu.ar

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INTRODUCCIÓN
PARTE I
Revisión de algunos sistemas numéricos.
1.1 El cuerpo de los números reales
1.2 El cuerpo de los números complejos

PARTE II
Los cuaterniones.
2.1 Introducción
2.2 ¿Qué son loscuaterniones?
2.3 Operaciones básicas con estos números.
2.4 Los cuaterniones y su estructura algebraica.

PARTE III
Un poco de su historia. Hamilton.

PARTE IV
Algunas aplicaciones.

PARTE V
Algo de humor.

PARA FINALIZAR

Revista Nº 21 – octubre 2010 – Sección Temas de Matemática.
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INTRODUCCIÓN
La teoría de los cuaterniones, nombre dado porHamilton a sus números
cuatro-dimensionales, se publica en 1844. Con este sistema, se crea un cálculo
que respeta el conjunto de reglas prescritas por el principio de permanencia
con la sola excepción de la conmutatividad de la multiplicación.
Estos números son una extensión de los números complejos construidos
mediante herramientas del álgebra abstracta. Por esa razón se los conoce
comonúmeros

hipercomplejos,

lo

mismo

que

los

cocuarteniones,

bicuaterniones, tesarines, octoniones y sedeniones.
Todos tienen estructuras n-dimensionales sobre los números reales. Pero
ninguna de las extensiones mencionadas alcanza la estructura algebraica de
cuerpo, porque según el Teorema Fundamental del Álgebra, el cuerpo de los
números complejos es algebraicamente cerrado. Laconstrucción de los
cuaterniones por Hamilton fue el primer ejemplo de este tipo de estructura.
Así como los números complejos pueden ser vistos como puntos en un plano,
los números hipercomplejos lo son como puntos en algún espacio euclídeo de
más dimensiones (4 dimensiones para los cuaterniones, tesarines y
cocuaterniones, 8 para los octoniones y bicuaterniones, 16 para los
sedeniones).Sin ninguna duda estos nuevos números no dejan de asombrar, aunque
nuestro mayor conocimiento esté puesto en los números reales y en los
números complejos, como una extensión de aquellos.

Revista Nº 21 – octubre 2010 – Sección Temas de Matemática.
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PARTE I
Lo primero es revisar brevemente:
1.1 El álgebra de los números reales.
1.2 El álgebra de losnúmeros complejos.
En Matemática, hay números de muchas clases: naturales, enteros, decimales,
racionales, irracionales, reales, complejos, etc.
En el número 20 de la revista mendom@tic@ se consideró la siguiente cadena
de inclusiones de conjuntos numéricos
IN ⊂ Z ⊂ ID ⊂ Q ⊂ IR ⊂ C,

(1)

donde IN es el conjunto de los naturales, Z de los enteros, ID de los decimales,
Q de los irracionales,IR, de los reales y C de los complejos.
El conjunto I de los números irracionales, no figura en la cadena dada en (1)
por los motivos que se explicaron oportunamente. Si tales razones no se
recuerdan es posible encontrarlas en el número 19 de la revista. Cabe agregar
que la razón de la “ampliación” de los conjuntos numéricos señalados en (1), es
bien conocida.
Los números complejos...