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LAS CIENCIAS FORMALES: EL MÉTODO AXIOMÁTICO-DEDUCTIVO

Se dice que el método de la Matemática es un método axiomático porque es una ciencia formal y como tal utiliza el método axiomático-deductivo. Dicho método consiste en tomar como punto de partida una serie de axiomas y, a partir de ellos proceder deductivamente.
Los axiomas son proposiciones que se consideran como verdaderas y norequieren demostración. El conjunto de axiomas debe tener en ciertas características como por ejemplo, la independencia y la consistencia. Partiendo de ellos y a partir de reglas de inferencias, se llegan adeducir los teoremas, componentes fundamentales en la cadena deductiva.

Se entiende por deducción el proceso de razonamiento que permite derivar de una o varias proposiciones dadas (llamadasaxiomas o premisas) otra que es su consecuencia lógica necesaria y que se denomina conclusión.
Un sistema formal se compone de lo siguiente:

1. Un conjunto finito de símbolos que se utilizan para laconstrucción de formulas. Es el alfabeto o vocabulario.

2. Una gramática formal, es decir, un mecanismo para la construcción de formulas bien formadas.

3. Un conjunto de axiomas que deben serformulas bien formadas.

4. Un conjunto de reglas de inferencia (mediante las cuales se obtienen conclusiones en base a la información conocida)

5. Un conjunto de teoremas que incluye todas las fbfque se pueden derivar de los axiomas o de otros teoremas mediante reglas de inferencia.

Las propiedades que deben cumplir los sistemas formales son:

1. CONSISTENCIA: no ha de deducirse a partirde los axiomas otros enunciados que luego los contradigan.

2. COMPLETUD: Todas las formulas lógicamente validas (verdaderas bajo cualquier interpretación) han de ser demostrables a partir de losaxiomas y las reglas de inferencia.

3. DECIDIBILIDAD: Un sistema es decidible cuando existe al menos un método efectivo (un algoritmo) para decidir si una formula cualquiera del lenguaje del...