matematica

ECUACIONES LOGARITMICAS

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.
Para resolver ecuaciones logarítmicas se deben tener encuenta las propiedades de logaritmos:
1.- Loga X = Loga Y X = Y
2.- Loga 1 = 0
3.- Loga a = 1
4.- Loga an = n
5.- Loga (X.Y) = Loga X + Loga Y
6.- Loga  = Loga X - Loga Y
7.- Loga(Xn) = n Loga X
8.- Loga  =  Loga X
Se deben comprobar las soluciones para verificar que no se tienen logaritmos nulos o negativos.
Resolver las ecuaciones logarítmicas:
1.- Log 2 + Log(11 – x2) = 2Log(5 – x)
Se aplica en el primer miembro la propiedad 5 y en el segundo la propiedad 7, las propiedades se aplican en forma inversa

Aplicando la propiedad 1, se obtiene la igualdad:2(11 – x2) = (5 – x)2
Resolviendo las operaciones:
22 – 2x2 = 25 – 10x + x2
Igualando a 0
0 = 25 – 10x + x2 – 22 + 2x2
3x2 – 10x +3 = 0
Se resuelve la ecuación y se obtienen las soluciones:x1 = 3 x2 = 1/3
Ahora se debe comprobar que al sustituir los valores en las expresiones logarítmicas no se obtengan resultados nulos o negativos, por cuanto los logaritmos de esas expresiones noexisten
x1 = 3
Log 2(11 – x2) Log 2(11 – 32) Log 2(11 – 9) Log 2(2) Log 4
Log (5 – x)2 Log (5 – 3)2 Log 4
x2 = 1/3
Log 2(11 – x2) Log 2(11 – (1/3)2)Log 2(11 – 1/9) Log 2(98/9) Log 196/9
Log (5 – x)2 Log (5 – 1/3)2 Log (14/3)2 Log 196/9
En ambos casos la solución es válida
2.- 2logx = 3 + log (x/10)
Se aplica lapropiedad 6 en el segundo miembro
2logx = 3 + log x – log10
2logx = 3 + log x – 1
Agrupando los miembros
2 log x – log x = 3 -1
Logx = 2
Aplicando la propiedad 4
Log x = log 102
Aplicando lapropiedad 1
x = 100
Al sustituir en las expresiones logarítmicas, se obtiene en ambas log 10, por lo tanto la solución es válida

3.- log x + log(x + 3) = 2 log(x + 1)
Aplicando la propiedad 5...