Matematica

CURSO de ÁLGEBRA I

Primer Semestre de 2011

APUNTES DE LOGICA Y CONJUNTOS

(SELECCIÓN DE TEXTOS)
1. GENERALIDADES SOBRE CONJUNTOS
En una Teoría Intuitiva de Conjuntos, como la que desarrolla Paul Halmos, los conceptos de “conjunto” y “pertenencia” son considerados primitivos, es decir, no se definen de un modo formal; se les acepta como existentes de manera axiomática, aúncuando son creaciones intelectuales. Intuitivamente, un Conjunto es el nombre que nuestro intelecto es capaz de atribuir o asignar a una colección bien delimitada de objetos concretos o abstractos llamados elementos o miembros de esta colección que precisamos formar. ( Nótese que antes de nuestra necesidad o voluntad de comunicar o referir lo que conocemos, antes del lenguaje, sólo nos rodeanseres existentes o individualidades que nosotros no creamos. Sólo creamos nombres propios para referirnos a ellos. Estos son los elementos y, por ser previos a nosotros, son anteriores a una teoría del lenguaje como es la teoría de conjuntos. )
Consideremos, por ejemplo, las siguientes colecciones:
1.- Las vocales latinas: a, e, i, o, u.
2.- Los números enterospares positivos: 2, 4, 6, ....
3.- Los siete enanitos de Blancanieves.
4.- Los equipos chilenos de fútbol profesional participantes en el actual campeonato nacional.

5.- Las personas simpáticas de nuestro curso de Matemáticas.

Sólo los cuatro primeros de estos ejemplos constituyen conjuntos bien definidos. La colección 5 no tiene bien delimitados suselementos, pues la apreciación de “simpático” es extremadamente subjetiva e incluso variable en un mismo sujeto. Cada uno de los elementos del conjunto 4 puede considerarse como un conjunto de jugadores y por esta razón se puede decir que este conjunto es una clase o familia de conjuntos.
Los conjuntos se denotan generalmente mediante letras mayúsculas y sus elementos se escriben conminúsculas y entre paréntesis de llave.

Por ejemplo: A = {1, 2, 4}. Las llaves serán los bordes de un recipiente o contenedor de elementos.
Al conjunto cuyo único elemento es a le llamaremos “síngleton de a”. Se anota {a}.
Observe que (a(es el conjunto que contiene sólo al elemento a, luego {a} ( a.
En el conjunto A del ejemplo anterior el entero 2pertenece a A y se anotará 2(A. Análogamente, 1(A y 4(A (por abuso de lenguaje y para abreviar se escribe: 1, 2, 4(A). Por otra parte, 5 no pertenece a A. Esto lo escribiremos: 5(A. Es usual decir, por ejemplo, que “x es un elemento de A” o “x está en A” como idéntico a decir “x pertenece a A”.

Definición 1.1.
Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, o bien que Aestá incluido en B si y sólo si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B. A está incluido en B se anota A ( B, y si A no es subconjunto de B se escribe A ( B. Además, se dice que A es subconjunto propio de B si y sólo si A es subconjunto de B pero B es distinto de A, lo que a veces se denota por A ( B, sin la barrita inferior que representa la igualdad de conjuntos.Ejemplo 1.1.- Dados A = {1, 2} y B = {1, 2, 3}, entonces se puede afirmar que A es subconjunto de B, que A es subconjunto de A, que B es subconjunto de B, que B no es subconjunto de A y que A es subconjunto propio de B.

Definición 1.2.
Se dice que los conjuntos A y B son iguales, y se escribe A = B, si y sólo si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B, yrecíprocamente, cada elemento que pertenece a B pertenece también a A . Dicho de otro modo: A y B son iguales si y sólo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A. Si A y B no son iguales se escribe A ( B, y se lee A es distinto de B.

Ejemplo 1.2. a) {x(R / (x – 2) (x2 – 8x + 15) = 0} = {2, 3, 5}
b) {1, 2} = {1, 2, 1, 2, 1} con 1 y 2 números naturales en sí mismos....