Matematica

Introducción al Calculo Infinitesimal. I.T.I. de SISTEMAS.

Funciones reales de varias variables reales.-

4.4.-

Derivadas de funciones implícitamente definidas.-

Consideramos unafunción f( x, y ) definida en una cierta región R de su dominio. FUNCIONES IMPLÍCITAS. Diremos que la función z = f(x,y) está definida de forma implícita por F(x,y,z) = 0 si F(x, y, f(x,y)) = 0. Derivadasde funciones implícitamente definidas. La diferencial de F( x, y, z ) = 0 se define por : Fx dx + Fy dy + Fz dz= 0. Si Fz ≠ 0. Fx Fz Fy Fz

Despejando dz queda:

dz = −

dx −

dy Fx Fz FyFz

Y puesto que z = f( x, y ) podemos escribir: Zx =fx = −

y

Zy = fy = −

.

CONSECUENCIAS:
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Plano tangente: Si el plano tangente a z = f( x, y ) por P (a,b,c) era Z-c = fx(P) (X − a) + fy(P) (Y − b) como: Fx fx = − Fz Fy fy = − Fz implícitamente podemos escribirlo de la forma: Fx(P) ( X-a) + Fy (P)(Y-b) + Fz (P)(Z-c) = 0

Vector normal: Vn = [ Fx(P) , Fy (P) , Fz(P) ]. Vector gradiente: Grad( F) = [ Fx , Fy , Fz ] EJEMPLO. Hallar la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie de ecuación : 2 x2 + 2 y2 − z2 + 12=0, en el punto P =(-1,1,4). Tomamos la función F(x,y,z) = 2 x2 + 2 y2 − z2 + 12, y calculamos su gradiente: Fx = 4x ; Fy= 4y ; Fz = -2z que en P queda, grad(F) = (-4 , 4 , -8) .

El plano tangente será: −4 ( x + 1 ) + 4 (y − 1 ) − 8 ( z − 4 ) = 0 que simplificado queda: x - y + 2 z = 6. x+1 −1 y−1 1 z−4 −2

Y la recta normal:

=

=

.

Otro ejemplo con Maple.

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>restart:with(linalg):with(plots):with(plottools):
Warning, new definition for norm Warning, new definition for trace

Introducimos y representamos la función que estudiaremos. > F:=(x,y,z)-> -x^3*y^2+y^2*z-x;S:=implicitplot3d(F(x,y,z),x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2): display(S,axes=framed,labels=[x,y,z]); F := ( x, y, z ) → −x3 y2 + y2 z − x

Sus derivadas parciales primeras. > Fx:=unapply(diff(F(x,y,z),x),x,y,z);...