matematica

Caso de una variable
Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadasde la función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [, ] y +1 veces en el intervalo abierto (, ), entonces se cumple que:1(1a)
O en forma compacta
(1b)
Donde denota el factorial de , y es el resto, término que depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionan acontinuación:
(2a)
donde y , pertenecen a los números reales, a los enteros y es un número real entre y :2
(2b)
Si es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange,dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización delTeorema fundamental del cálculo integral.
Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Tayloren un entorno reducido alrededor de un punto y son denominadas funciones analíticas.
El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función tiene números complejos ovalores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.
[editar] Caso de varias variables
El teorema de Taylor anterior (1) puede generalizarseal caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en RN centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura cuyas derivadas parciales de orden n+1 sontodas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier :

Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). El...