matematica

Razones y proporciones

Llamaremos razón a toda relación de comparación entre dos cantidades distintas de cero.
Por ejemplo si en un grupo hay 12 varones y 8 damas, las razones a encontrar pueden ser

N° de Varones
N° de Varones
Total de personas
,
,
, etc.…
N° de Damas Total de personas
N° de Damas
Usaremos la notación

a
o bien a : b la cual se leerá como “a” es a “b”.
b

Ala parte inicial “ a” le llamaremos Antecedente y a la segunda, “ b”, Consecuente
El cuociente entre ambas partes se conoce como el valor de la razón.
Luego

antecedente
= valor de la razón
con sec uente

Proporciones
Llamaremos proporción a toda igualdad entre dos razones
Se anotara de la forma a : b = c : d o

a c
= y se leerá de la forma “ a es a b como c es a d”
b d

Llamaremosmedia proporcional geométrica a un termino tal que sea el consecuente de la
primera razón y el antecedente de de la segunda
Ejemplo

La media proporcional entre 4 y 100
4
x
=
x 100
Desarrollo
4 ⋅100 = x 2
x = 400 = ±20

3. Calcular la media proporcional geométrica entre:
a) 121 y 25

Profesor Eduardo Flores

R: 55

b) 72 y 32

1

R: 48

www.crisol.tk

Razones yproporciones

Las proporciones se dirán directas si en la situación de que una de ellas aumenta, la otra
también lo hace. En este caso particular la técnica de trabajo será operar multiplicando
cruzado.
Por ejemplo
Si en 2 horas camino 10 kilómetros ¿Cuántos puedo caminar en 6 horas?
Al plantear la situación se llega a la siguiente estructura
Es decir que la situación se puede expresar de laforma

2 x = 6 ⋅10
60
x=
2
x = 30 [ kilometros ]

+
+
Tiempo en horas Distancia
2
10
6
x

Analice la idea. Si camina MÁS horas, recorre MÁS distancia. Por ende ambas partes
aumentan. Esa es la técnica para identificar el proceso a usar
Ejercicios
1. Indicar si las siguientes expresiones corresponden a una proporción:
1
1
4
8 4
1, 2 3, 6
3 0,5
=
=
=
= 2
2
1
16 8
4
127 1, 2
3
4

2. Encontrar el término desconocido en las proporciones :

a)

t 5
=
6 3

b)

0,5
5
=
x
0,3

c)

3
y
=
0,18 4

1
1
d) 4 = 9
6
z

R: t = 10 ; x = 0,03 ; y = 66,6 ; z = 8/3

Nota: Al graficar los elementos de una proporción directa siempre tendremos una curva
derechita que pasa por el origen. La pendiente de dicha recta siempre corresponderá al
valorde la razón.

Profesor Eduardo Flores

2

www.crisol.tk

Razones y proporciones

Las proporciones se dirán inversas si al aumentar una de ellas la otra disminuye. Tal es el
caso entre la velocidad y el tiempo que demora en recorrer una distancia, El número de
trabajadores y la cantidad de trabajo para cada uno de ellos, el número de personas
ganadoras Kino y el monto que recibirácada uno. En estos casos una cantidad permanece
constante, correspondientemente la distancia, la cantidad de trabajo y el monto del premio.
El como enfrentar este tipo de situaciones se ilustrara con un ejemplo
Supongamos que una persona viaja en su auto a 60 km/h, demorándose 2 horas en
llegar a su trabajo. ¿Cuanto se demoraría si viajara a 80 km/h?

La estrategia es escribir adecuadamente laspartes de tal que se evidencien las
características del proceso. No es difícil coincidir en el criterio de que si aumenta su rapidez
disminuirá el tiempo del viaje, por ende la distancia recorrida es contante, en consecuencia
el producto entre antecedente y consecuente de la prima razón es equivalente al producto en
la segunda, lo cual permite plantear la igualdad que se ve a la izquierda80 x = 60 ⋅ 4
240
x=
80
x = 3 [ horas ]

+
Rapidez Tiempo
60
4
80
x

La grafica de los elementos de una proporción inversa siempre corresponderá a una
hipérbola tal que sus asíntotas son los ejes ordenados.
Por
ejemplo,
para
el
problema
planteado,
podemos graficar la relación
entre la rapidez y el tiempo,
siendo este ultimo el que
podemos controlar.
Anotando en el eje...