Matematica

MATRICES Matrices de números reales.
Dados dos subconjuntos A = {1,2,3,...i...n} y B = {1,2,3,...j...m} pertenecientes al conjunto de los números naturales, llamaremos matriz de dimensión nxm a toda aplicación A X B ---------> R / (i,j) ---> aij que asocia a cada par (i,j) el numero real aij Definimos matriz real de elementos pertenecientes a R y de dimensión n filas por m columnas, aquelconjunto de números reales escritos de la forma siguiente:

 a 11 a12  a 22 a A   21    a  n1 a n 2 matriz nxm
Ejemplos:

 a1m    a2m       a nm  

En forma simplificada A = ( aij )nxm y se le denomina

A2 x 2

1 0  3 1   

A3x 3

 1 5 0      3 2 4   1 0  1  

A3x1

 0      1  3 / 2  

A1x3  1  2

0

Ejemplo: Escribiruna matriz A3x4 tal que aij = 2i + 3j a11 = 2.1 + 3.1 = 5 a14 = 2.1 + 3.4 = 14 a23 = 2.2 + 3.3 = 13 a32 = 2.3 + 3.2 = 12 a12 = 2.1 + 3.2 = 8 a21 = 2.2 + 3.1 = 7 a24 = 2.2 + 3.4 = 16 a33 = 2.3 + 3.3 = 15 a13 = 2.1 + 3.3 = 11 a22 = 2.2 + 3.2 = 10 a31 = 2.3 + 3.1 = 9 a34 = 2.3 + 3.4 = 18

es decir

 5 8 11 14    A   7 10 13 16   9 12 15 18   

Matriz rectangular.- Es aquella en laque no coinciden el numero de filas con el de columnas. Se escribe Anxm donde n  m. Matriz fila es la que tiene por dimensiones 1xm Matriz columna es la que tiene por dimensiones nx1

Matriz cuadrada.- es aquella en el que el numero de filas y de columnas coinciden. Se escribe Anxn y diremos que son de orden n. En una matriz cuadrada llamaremos diagonal principal a los elementos que van desde elvértice superior izquierdo al vértice inferior derecho y serán todos los aij / i=j En una matriz cuadrada llamaremos diagonal secundaria a los elementos que van desde el vértice superior derecho al vértice inferior izquierdo y serán todos los aij / i+j = n+1 donde n es el numero de filas o columnas. Matriz nula.- Es aquella matriz que tiene todos sus elementos iguales a 0. Puede ser cuadrada ono. Se representa por Onxm y es tal que aij = 0  i,j Matriz diagonal.- Es toda matriz cuadrada en la que todos sus elementos son nulos excepto los de la diagonal principal que pueden ser ceros o no.

 a 0 0    0 b 0 0 0 c  

 3 0 0   0  2 0 0 0 6  

0 0 0   0 3 0 0 0 4  

Matriz escalar.- es toda matriz cuadrada y diagonal que tiene todos los elementos de ladiagonal principal iguales.

k 0 0   A  0 k 0  k  0 0 0 k   
Matriz unidad.- Es toda matriz cuadrada, diagonal y escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. aij = 0 si i  j Se representa por I y sus aij son tales que aij = 1 si i = j

1 0 0   I   0 1 0 0 0 1  
Matriz simétrica.- Es toda matriz cuadrada en la que coincide suselementos conjugados, es decir, aij = aji  i y  j. Esto quiere decir que todos los elementos son simétricos respecto de la diagonal principal.

a b  b d c e 

c  e f 

 2 1 3   y  1 0 4  son matrices simétricas  3 4 5  

El producto de dos matrices simétricas no tiene porque ser simétrica.

Matriz antisimetrica.- Es toda matriz cuadrada en la que aij = - aji  i  j y quesolo se verificara cuando todos los elementos de la diagonal principal sean ceros.

a b  0  2 1  0     0 3  son matrices antisimetricas.  a 0 c y  2   b  c 0  1  3 0    
El producto de dos matrices antisimetricas no tiene porque ser antisimetrica. Matriz triangular.- Es toda matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos situados por debajo o por encima de ladiagonal principal. 3 4 5  2 0 0      0 6 1  es triangular inferior.  3  1 0  es triangular superior. 0 0 4  4 0 3    

Operaciones con matrices.
Suma de matrices Dadas dos matrices A y B de igual orden nxm, llamaremos matriz suma a otra matriz de igual dimensión nxm y cuyos elementos se obtengan sumando los elementos homólogos de A y de B. cij = aij + bij

3   2  4 3 ...