matematica

PERMUTACIONES
Definición:
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.
Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta situación.


Ejemplo de permutación considerada como función biyectiva.
Para ilustrar la definición, retomemos elejemplo descrito en la introducción. En el ejemplo, X={1, 2, 3}.
Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí mismo equivale a una forma de ordenar los elementos.
Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por
1 → 1
2 → 2
3 → 3
puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".
Por otro lado, la asignación biyectiva dada por
1 → 3
2 → 2
3 → 1
puede hacersecorresponder al ordenamiento "3, 2, 1".
En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre X, el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.
Fórmula del número de permutaciones
Dado un conjunto finito  de  elementos, el número de todas permutaciones es igual a factorial de n:
.Demostración: Dado que hay  formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos  formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo sólo tenemos  posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos  formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente. .
Ejemplo: sea el conjuntoA={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en forma compacta: 123, 132, 213, 231, 312, 321. En álgebra, para estudiar los grupos simétricos se presentan entre paréntesis y en dos filas, en la primera siempre aparece 1 2 3.
Notación de ciclos
Existe otra notación más compacta, llamada notación de ciclos. Un ciclo de longitud s es una permutación que intercambia cíclicamente s elementos y fija losrestantes.
Esta notación revela mejor la estructura interna de la permutación. Para ello:
1. Empezamos con cualquier elemento. Lo escribimos, a su derecha escribimos su imagen, a la derecha de esta, la imagen de su imagen, y seguimos así hasta que se complete un ciclo.
2. Luego cogemos cualquier elemento no contenido en el primer ciclo, volvemos a escribir su imagen a su derecha, y continuamoshasta completar el segundo ciclo.
3. El proceso continúa hasta que la permutación entera ha quedado descrita como producto de ciclos disjuntos.
Siguiendo con el mismo ejemplo de antes, en notación de ciclos,  quedaría expresada como composición de dos ciclos:
= (1 3 5 6 )(
Descomposición de una permutación en ciclos disjuntos
La descomposición realizada por el procedimiento anterior no esúnica en principio, pues podrían haberse obtenido cualquiera de estos resultados equivalentes:
 = (1 3 5 6)(2 4 7 8)=(2 4 7 8) (1 3 5 6)= (8 2 4 7)(6 1 3 5)
La descomposición canónica de una permutación como producto de ciclos se obtiene colocando en primer lugar de cada ciclo el número más pequeño del mismo. Posteriormente se procede a la colocación de los ciclos, colocando primero el ciclo cuyoprimer elemento sea menor. Frecuentemente, suelen omitirse los ciclos de longitud 1. Así la permutación (1 3)(2)(4 5) se escribe simplemente como (1 3)(4 5).
Descomposición de una permutación en trasposiciones
Una trasposición es una permutación que intercambia dos elementos y fija los restantes. Dicho de otro modo, es un ciclo de longitud 2. Una propiedad interesante es que cualquierpermutación se puede construir como una composición de transposiciones, aunque no de manera única. Dadas dos descomposiciones en transposiciones de una permutación se cumple que ambas usaran un número par o ambas usarán un número impar, eso permite definir de manera unívoca la signatura de una permutación.
Las trasposiciones permiten descomponer una permutación cualquiera de una forma diferente a la...