Matematica

Problemas resueltos

Integración múltiple: integrales dobles
I SABEL M ARRERO
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de La Laguna
imarrero@ull.es

Índice
1. Problema 1

1

2. Problema 2

2

3. Problema 3

3

4. Problema 4

4

5. Problema 5

6

6. Problema 6

7

7. Problema 7

8

8. Problema 8

9

9. Problema 9

10

10. Problema 10

11

11.Problema 11

12

12. Problema 12

13

13. Problema 13

14

14. Problema 14

15

15. Problema 15

16

OCW-ULL 2011/12

C ÁLCULO I NTEGRAL V ECTORIAL

I NTEGRACIÓN MÚLTIPLE : INTEGRALES DOBLES

1.

1/17

Problema 1
Dibujar la región de integración y cambiar el orden en la integral
|x|

1

dx
−1

−y

1

Solución:

dy
0

√
− y

f (x, y) dy.

√
y1

f (x, y) dx +

x2

f (x, y) dx.

dy
0

y

R ESOLUCIÓN . La región de integración se muestra en la Figura 1.

Figura 1.

√
Toda recta horizontal entre 0 y 1 entra en el dominio en un punto de abscisa x = − y y sale en un punto
√
de abscisa x = −y, para volver a entrar en un punto de abscisa x = y y salir en un punto de abscisa x = y. Por
tanto, la integral se reescribeen la forma
−y

1

dy
0

C ÁLCULO I NTEGRAL V ECTORIAL

√
− y

√
y

1

f (x, y) dx +

f (x, y) dx.

dy
0

y

OCW-ULL 2011/12

2/17

2.

I. M ARRERO

Problema 2
Calcular
(x2 − y) dx dy,
D

siendo D la región comprendida entre la gráfica de las parábolas y = −x2 , y = x2 y las rectas x = −1, x = 1.
Solución:

4
.
5

R ESOLUCIÓN . El recinto deintegración D se muestra en la Figura 2.

Figura 2.

Se trata de una región de tipo I. Por tanto, podemos calcular la integral pedida escribiendo:

2

(x − y) dx dy =
D

OCW-ULL 2011/12

x2

1

dx
−1

−x2

2

1

(x − y) dy =
−1

y2
x y−
2

x2

2

1

dx = 2
−x2

−1

4
x4 dx = .
5

C ÁLCULO I NTEGRAL V ECTORIAL

I NTEGRACIÓN MÚLTIPLE : INTEGRALES DOBLES

3.3/17

Problema 3
Hallar
xy dx dy,
D

siendo D el conjunto de los puntos (x, y) ∈ R2 que satisfacen 0 ≤ y ≤ x + 2, 4x2 + 9y2 ≤ 36.
Solución:

23
.
6

R ESOLUCIÓN . El recinto D (Figura 3) es de tipo II.

Figura 3.

La intersección de la recta y = x + 2 y la elipse 4x2 + 9y2 = 36 se produce en el punto de ordenada y = 2.
Consiguientemente,
√
2

xy dx dy =
D

3

04−y2 /2

x dx =

y dy
y−2

C ÁLCULO I NTEGRAL V ECTORIAL

1
2

2

−
0

13 3
y + 4y2 + 5y
4

dy =

1
13
4
5
− y4 + y3 + y2
2
16
3
2

2

=
0

23
.
6

OCW-ULL 2011/12

4/17

4.

I. M ARRERO

Problema 4
Sea D el triángulo de vértices (0, 0), (0, 2), (2, 0) en el plano OUV y sea T la transformación de OUV en

OXY definida por las ecuaciones x = u + v, y= v − u2 . Esbozar T (D) y calcular su área mediante una integral
doble: (a) extendida a D; (b) extendida a T (D).

Solución:

14
.
3

R ESOLUCIÓN . Los lados de D se hallan sobre las rectas u = 0, v = 0 y u + v = 2 (Figura 4a). En consecuencia,
T (D) estará delimitado por las imágenes de estas rectas según T , que se encuentran sobre las curvas y = x,
y = −x2 y x = 2, respectivamente(Figura 4b).

Figura 4a. Recinto D.
Figura 4b. Recinto T (D).

El área de T (D) viene dada por

|T (D)| =

dx dy.
T (D)

Para responder (a), calculamos esta integral aplicando el teorema del cambio de variables, teniendo en
cuenta que el jacobiano de T es (en valor absoluto) |J(u, v)| = 1 + 2u (0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2 − u):
2

|T (D)| =

(1 + 2u) du dv =

dx dy =
T (D)

0

D2
0

OCW-ULL 2011/12

2

(1 + 2u)(2 − u) du =

=

0

2−u

(1 + 2u) dv

du
0

(2 + 3u − 2u2 ) du = 2u +

3u2 2u3
−
2
3

2

=
0

14
.
3

C ÁLCULO I NTEGRAL V ECTORIAL

I NTEGRACIÓN MÚLTIPLE : INTEGRALES DOBLES

5/17

Para responder (b), calculamos la misma integral directamente:
2

|T (D)| =

dx dy =
T (D)

0

2

x

dx

−x2

dy =...