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RESUMEN DE VECTORES EN R2 Y R3*
Definición geométrica de vectores. Un vector en R2(R3) es el conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos de un punto P a un punto Q en R2(R3) equivalentes a un segmento de recta dirigido dado. Una representación de un vector tiene su punto inicial en el origen y se denota por OR.
Definición algebraica de vectores. Un vector v en el plano xy (R2) es unpar ordenado de números reales (a, b). Los números a y b se llaman componentes del vector v. En R3, un vector v es una terna ordenada de números reales (a, b, c). El vector cero en R2 es (0,0) y en R3 es (0,0,0).
Si v = (a, b) ((a, b, c)) entonces la representación de v es OR con R = (a, b) en R2 o R = (a, b, c) en R3.
Magnitud y dirección de un vector. Si v = (a, b), entonces la magnitudde v (llamada también longitud, norma, módulo), denotada por , está dada por . Si v =(a, b, c), entonces .
Si v es un vector en R2, entonces la dirección de v es el ángulo en [0, 2π] que forma cualquier representación de v con el lado positivo del eje x.
Vectores unitarios bases i, j, k.
En R2 sea i = (1,0) y j = (0.1) entonces v = (a, b) se puede escribir como v = ai + bj.
En R3 sea i = (1,0, 0), j =(0, 1, 0) y k = (0, 0, 1), entonces v = (a, b, c) se puede escribir como
v = ai + bj + ck
Vector Unitario. Un vector unitario en R2 o R3 es un vector cuyo módulo es igual a uno (
La dirección de un vector v en R2 o R3 es el vector unitario
En R2 un vector unitario se puede escribir como: u = (cos θ)i + (sen θ)j, donde θ es la dirección de u.
Operaciones con vectores. Estasdefiniciones se dan tanto en R2 como en R3
Suma de vectores. Para sumar dos o más vectores, estos deben tener la misma cantidad de componentes. Sea r = (r1, r2) y s = (s1, s2) dos vectores en R2, entonces se define la suma como: r +s = (r1+s1, r2+s2).
La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina geométricamente de dos formas:
Método del polígono: Se sitúa el punto deaplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.
Método del Paralelogramo: Se sitúan los dos vectores sobre el mismo origen, se trazan las paralelas a los vectores dados formándose un paralelogramo. El vector suma es la diagonal del paralelogramo que va desde el origen comen deambos vectores hacia su extremo opuesto. La otra diagonal que une los puntos terminales de ambos vectores representa la resta de dichos vectores.

Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa.
Desigualdad del triángulo. En R2 o R3
Producto escalar o producto punto de dos vectores r = (r1, r2) y s = (s1, s2) denotado porr ∙ s, está dado por: r ∙ s = r1s1 + r2s2
Ángulo entre dos vectores. El ángulo α entre dos vectores u y v en R2 o R3 es el único número en [0, π], que satisface:
Vectores Paralelos. Dos vectores en R2 o R3 son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o π. Además dos vectores serán paralelos si uno es un múltiplo del otro, es decir v = k u, donde k es un escalar y u, v son vectores en R2 oR3.
Vectores Ortogonales. Dos vectores son ortogonales si el ángulo entre ellos es π/2. Además, dos vectores serán ortogonales si el producto escalar de ellos es igual a cero.
Proyección de un vector sobre otro. Sean u y v dos vectores en R2 o R3 distintos de cero. La proyección de u sobre v es un vector, denotado por proyv u, que está definido por,

El escalar se llama la componente de uen la dirección de v.
proyv u es paralelo a v y u - proyv u es ortogonal a v.
Cosenos directores de v. Si v = (v1, v2, v3), entonces
se llaman cosenos directores de v, donde α es el ángulo positivo entre v y el eje positivo de las x; β es el ángulo positivo entre v y el eje positivo de las y, γ es el ángulo positivo entre v y el eje positivo de las z.
Producto vectorial o Producto cruz...