Matematica

HOJA 3 DIVISIBILIDAD
Conceptos de múltiplo y divisor 1.- El número aba es múltiplo de 3 y de 5 ¿cuánto valdrán entonces a y b si a,b son distintos de 0? 2.- El número aba es múltiplo de 5 y de 9 ¿cuánto valdrán a y b si a,b son distintos de 0? 3.- Si 4n es múltiplo de 2 y 2n es múltiplo de 2, ¿será su suma múltiplo de 2? ¿Y su diferencia? 4.- Si un número a es divisible por otro b, ¿lo estambién por todos los divisores de b? Compruébalo para 180 y 30. 5.- Escribe un número de tres cifras (abc). Vuelve a escribirlo a continuación (abcabc). Divide el número resultante por 13, luego el cociente obtenido por 11. Finalmente, el nuevo cociente lo divides por 7. ¿Por qué todas las divisiones son exactas? ¿A qué se debe que el cociente final sea el que es? 6.- Probar que, dados dos números queno son múltiplos de tres, se puede afirmar que su suma o diferencia sí es múltiplo de 3. 7.- Demostrar o poner un contraejemplo para las siguientes afirmaciones: a) Si d es divisor de a + b, entonces d divide a a y d divide a b. b) Si d es divisor de a + b, entonces d divide a a o bien d divide a b. c) d es divisor de 0. d) Si a es divisor de b y b es divisor de a, entonces a = b. e) Si d esdivisor de a2, entonces d es divisor de a. 8.- Decir si son verdaderas ó falsas las siguientes afirmaciones: a) Si un número es divisible por 9, es divisible por 3. b) Si un número es divisible por 4, también lo es por 8. c) En un producto de varios factores, si duplico uno de estos, el producto se duplica. d) Al dividir un número por 15 da cociente 8 y resto 3, por tanto puedo añadirle 11 unidades aldividendo y no cambiará el cociente. Criterios de divisibilidad 9.- Deduce el criterio de divisibilidad por 4 y por 8. 10.- Un número de tres cifras y las tres iguales ¿puede ser múltiplo de 11? Explícalo. 11.- El número 247.742 es capicúa. ¿Es divisible por 11? ¿Todos los números capicúas son divisibles entre 11? 12.- Consideramos el número 528. Se separan tantos grupos de dos cifras como se puedaempezando por la derecha, lo que da lugar a dos grupos (5 y 28). Se suman (5 + 28 = 33). Como el resultado de la suma es divisible entre 11, el número 528 también lo es. ¿Es cierto el procedimiento en general? ¿Por qué? 1

13.- Dado el número 76776B5. ¿Cuánto debe valer B para que sea divisible por 9? ¿Y por 11? 14.- Cuál es el valor de la cifra “a” en el número 15a2 para que dicho número seasimultáneamente múltiplo de 2 y de 3? ¿Y en el número 23a? ¿Y en el 450a? 15.- Determinar a y b para que el número aba sea divisible por 3 y por 11 simultáneamente. 16.- Dado un número 1abc; encuentra todos los posibles valores de: a, de b y de c para que sea divisible por 55. 17.- Hallar a para que el número 2345a78 sea múltiplo de 11. 18.- Encuentra, de forma razonada, qué valores puede tomar lacifra a, para que el número 20a3a, sea múltiplo de 3. Conjunto de divisores 19.- ¿Cuántos divisores tienen los números 36, 50, 100, 360, 540? ¿Qué números de los anteriores será divisible por otro observando sólo su descomposición en números primos? 20.- ¿De cuántas maneras se pueden colocar 24 árboles en rectángulos de varias filas? ¿Y 30 árboles? ¿y 42 árboles? 21.- Dos números son ‘amigos’ sila suma de los divisores de cada uno, excluyendo el propio número, nos da el otro. Comprobar que la pareja (220, 284) son amigos. 22.- Un número es perfecto si es igual a la suma de sus divisores excluyendo al propio número. Comprobar que los números 6, 28 y 496 son perfectos. 23.- Para averiguar si 499 es primo hemos hecho una serie de divisiones y al dividir por 23 hemos encontrado de cociente21 y 16 de resto. ¿Debemos seguir dividiendo? ¿Es primo 499? Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo 24.- Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden. Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. 25.- Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado...