Matematica

ESCUELA DE GRADUADOS
CONCEPCIÓN-CHILE

ALGEBRA
Y
TRIGONOMETRIA
2003

Índice general
FUNCIONES Y GRAFICAS
0.1. FUNCIONES . . . . . . . . . . . . .
0.2. FUNCIONES REALES . . . . . . . .
0.3. OPERACIONES CON FUNCIONES
0.4. FUNCION INVERSA . . . . . . . .
0.5. FUNCION EXPONENCIAL . . . . .
0.6. FUNCION LOGARITMICA . . . . .
0.7. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . .

i

II

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v
xvii
xxi
xxvii
xxix
xxxiv

FUNCIONES Y GRAFICAS
0.1.

FUNCIONESDe…nición 0.1.1 Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Se llama
FUNCION DE A en B a toda ley o regla que asigna a cada elemento de
A un único elemento de B:
Es común usar las letras f; g; h; F; ; ::: para designar funciones.
Para indicar que f es una función de A en B se escribe:
f :A!B
Para indicar que a un elemento x de A, la función f le asocia un solo
elemento y de B; se escribe:
x 7! f (x) =y;
o más simplemente:
f (x) = y:
Es decir:
f : A ! B , 8 x 2 A; 9! y 2 B tal que f (x) = y
El elemento y se llama IMAGEN de x por f o también se dice que y es
EL VALOR DE f en x o que y es la VARIABLE DEPENDIENTE.
El elemento x se llama PRE-IMAGEN de y por f o VARIABLE INDEPENDIENTE.
El conjunto A se llama DOMINIO de f y se denota por Dom (f ) ; el
conjunto B se llama CODOMINIO de f yse denota por Cod (f ) :

ii

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

iii

El conjunto de los valores que toma f en los elementos de A se llama
conjunto imagen o RECORRIDO de f y se denota por Rec (f ) ; es decir:
Rec (f ) = ff (x) 2 B : x 2 Ag
= fy 2 B : 9 x 2 A tal que f (x) = y g :
Ejemplo 0.1.1 La fórmula familiar de geometría
A (r) = r2 ;

(r > 0)

describe el área de un círculo enfunción del radio. Es decir,
A : R+ ! R + ;

r 7! A (r) = r2 :

9
Ejemplo 0.1.2 F = 32 + 5 C expresa la temperatura de un cuerpo en grados
Fahrenheit, F, en función de su temperatura en grados Celsius, C.

F : R ! R;

9
C 7! F (C ) = 32 + C:
5

Ejemplo 0.1.3 Sea
g: N ! Z
n 7! g (n) = 2n + 1
entonces la imagen por g de 3 es g (3) = 7; la preimagen de 7 por g es 3.
1. Observeque todo número del dominio de g , es decir, todo número natural, tiene imagen en Z. Sin embargo, no todo número en Z tiene una
preimagen por g .
Por ejemplo: 8 2 Z y no existe n 2 N tal que g (n) = 2n + 1 = 8; ya
que se debería tener n = 7 pero 7 2 N:
=
2
2
4) La ley que asocia a cada número real su inverso multiplicativo, no es
una función de R en R pues el cero no tiene inversomultiplicativo.
Para obtener una función se debe considerar como dominio el conjunto
R n f0g ; así
f : R n f0g !
R
1
x
7! f (x) = x
es una función, ya que todo número no nulo tiene un único inverso
multiplicativo.

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

iv

5) Sean A y B dos conjuntos no vacíos y b 2 B; b …jo. La función f de A
en B con Rec (f ) = fbg ; es decir,
f: A ! B
a 7! f (a) = b
sellama FUNCION CONSTANTE de valor b.
6) Sea A un conjunto no vacío. La función de…nida por f : A ! A tal que
f (x) = x se llama FUNCION IDENTICA en A y se denota por
IA :
De…nición 0.1.2 Una función de A en B, f : A ! B; es:
1) SOBREYECTIVA: Si Rec (f ) = B:
2) INYECTIVA: Si elementos diferentes de A tienen imágenes diferentes en B; o sea si:
8 x1 ; x2 2 A; x1 6= x2 ) f (x1 ) 6= f (x2 ) ;
olo que es equivalente:
8 x1 ; x2 2 A; f (x1 ) = f (x2 ) ) x1 = x2
3) BIYECTIVA: Si es sobreyectiva e inyectiva a la vez.
Observación 0.1.1 f no es inyectiva si y sólo si existen x1 2 A; x2 2 A;
x1 6= x2 ; tales que f (x1 ) = f (x2 ) :
Ejemplo 0.1.4

1.

2. La función idéntica de un conjunto A es biyectiva ¿
Por qué?
3. Una función constante normalmente no es biyectiva ¿
Por qué?...